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函数的连续性是微积分中的重要概念。一个函数在某点连续，意味着该点的极限值等于函数值。当函数在某点不满足连续性条件时，该点就称为间断点。图中蓝色曲线表示连续函数，红色曲线表示在x等于1处有间断的函数。
间断点根据其性质可以分为三种类型。第一种是可去间断点，其特点是左极限和右极限存在且相等，但函数在该点未定义或函数值不等于极限值。第二种是跳跃间断点，左右极限都存在但不相等。第三种是无穷间断点，至少有一个单侧极限不存在或为无穷大。
可去间断点有严格的数学定义。首先，函数在该点的左极限和右极限必须存在且相等，设这个共同的极限值为L。其次，函数在该点要么未定义，要么函数值不等于极限值L。判断可去间断点需要三个步骤：计算左右极限，检查是否相等，最后检查函数在该点的定义情况。图中显示了典型的可去间断点，在x等于2处有一个洞，但左右极限都趋向于3。
让我们通过一个经典例子来分析可去间断点。考虑函数f(x)等于x平方减1除以x减1，在x等于1处的间断点。首先化简函数，分子可以因式分解为(x-1)(x+1)，约去公因子x-1后得到x+1，但要注意x不等于1的条件。接下来计算极限，当x趋向于1时，f(x)的极限等于1加1等于2。最后检查函数值，f(1)未定义，但极限存在且等于2。因此x等于1是一个可去间断点。
让我们看两个更多的可去间断点例子。第一个是著名的正弦函数除以x在x等于0处。虽然函数在x等于0处未定义，但通过洛必达法则或泰勒展开可以证明其极限等于1，因此这是一个可去间断点。第二个例子是分段函数，当x不等于2时函数值为x加1，当x等于2时函数值为5。在x等于2处，左右极限都等于3，但函数值为5，不等于极限值，所以这也是可去间断点。