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三角函数是数学中描述角度与比值关系的重要函数。在直角三角形中，正弦函数等于对边除以斜边，余弦函数等于邻边除以斜边，正切函数等于对边除以邻边。在单位圆中，角θ对应的点的横坐标就是余弦值，纵坐标就是正弦值。角度可以用度数或弧度表示，一弧度约等于57.3度。
三角函数的基本恒等式是解题的重要工具。最基础的是平方关系，即正弦平方加余弦平方等于一，这可以通过单位圆上的直角三角形用勾股定理证明。商数关系表明正切等于正弦除以余弦。倒数关系定义了正割、余割等函数。这些恒等式在化简表达式和证明等式时非常有用。
和差角公式是三角函数的重要工具，用于计算两个角的和或差的三角函数值。正弦和差公式表明，两角和的正弦等于第一角的正弦乘以第二角的余弦，加上第一角的余弦乘以第二角的正弦。余弦和正切也有类似的公式。通过这些公式，我们可以计算特殊角的三角函数值，比如75度等于45度加30度。
二倍角公式是和差角公式的特殊情况，当两个角相等时得到。正弦二倍角公式为2sinθcosθ，余弦二倍角有三种等价形式。半角公式则用于计算半角的三角函数值，通过二倍角公式推导得出。这些公式在函数图像上表现为周期和振幅的变化，二倍角函数的周期是原函数的一半。
积化和差和和差化积公式是三角函数的高级变换工具。积化和差公式将三角函数的乘积转换为和差形式，而和差化积公式则相反。这些公式在求解三角方程时特别有用，可以将复杂的和差表达式转化为乘积形式。在物理学中，这些公式解释了波的叠加现象，两个频率相近的正弦波叠加会产生拍频效应。