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概率论是研究随机现象规律的数学分支。概率定义为有利结果数除以总结果数，具有基本性质：概率值在0到1之间，必然事件概率为1。通过抛硬币和掷骰子等简单例子，我们可以直观理解概率的含义。根据大数定律，当试验次数趋于无穷时，频率会趋近于概率的真实值。
贝叶斯定理在医疗诊断中具有重要意义。它通过结合先验概率、似然度来计算后验概率。例如，某疾病患病率为1%，检测敏感性95%，特异性90%。在10000人中，真正患病100人，其中95人检测阳性；健康9900人中，990人假阳性。因此阳性预测值仅为8.8%，说明即使检测阳性，实际患病概率仍然很低。
概率分布在金融风险评估中发挥核心作用。正态分布常用于建模股票收益率，泊松分布用于违约事件频率分析。风险价值VaR是重要的风险度量指标，表示在给定置信水平下的最大可能损失。例如95%置信水平的VaR表示有5%概率损失超过该值。通过概率模型，金融机构能够量化投资组合风险，制定合理的风险管理策略。
互联网推荐系统广泛应用概率模型来预测用户偏好。协同过滤通过计算用户间相似度，利用相似用户的评分预测目标用户偏好。贝叶斯网络则结合用户特征和物品属性计算推荐概率。系统通过用户-商品评分矩阵分析行为模式，计算推荐置信度，为用户提供个性化推荐。这种概率方法能够处理数据稀疏性问题，提高推荐准确性。
统计检验在质量控制中发挥重要作用。t检验用于检验样本均值是否显著偏离目标值，卡方检验用于检验分布的拟合优度。控制图是重要的过程监控工具，通过设置控制限来识别异常变化。当数据点超出控制限时，说明过程可能失控。假设检验帮助我们在给定显著性水平下做出统计决策，置信区间则提供参数估计的可靠范围。