视频字幕
群是抽象代数中最基本的代数结构之一。一个群由一个集合G和一个二元运算组成，必须满足四个基本公理。第一是封闭性，即集合中任意两个元素的运算结果仍在集合中。第二是结合律，运算满足结合律。第三是存在单位元，与任何元素运算都不改变该元素。第四是每个元素都有逆元，与逆元运算得到单位元。
让我们通过具体例子来理解群的概念。第一个例子是整数加法群，所有整数在加法运算下构成群。第二个例子是模4加法群，包含元素0、1、2、3，运算是模4加法。第三个例子是非零有理数乘法群，所有非零有理数在乘法运算下构成群。我们可以验证每个例子都满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性这四个群公理。
基于群的四个基本公理，我们可以推导出群的重要性质。首先是单位元的唯一性：假设有两个单位元e1和e2，由单位元的定义可得e1等于e1运算e2，也等于e2，因此单位元唯一。其次是逆元的唯一性：假设b1和b2都是a的逆元，通过结合律和单位元性质可以证明b1等于b2。最后是消去律：如果a运算b等于a运算c，则b等于c。这些性质的证明都遵循相同的逻辑流程：假设条件、应用群公理、得出结论。
群的阶和元素的阶是群论中的重要概念。群的阶指群中元素的总个数，用|G|表示。元素的阶是指使该元素的幂等于单位元的最小正整数。以模4加法群为例，群的阶是4，包含元素0、1、2、3。元素0的阶是1，因为0的1次幂等于0。元素1的阶是4，因为需要1加4次才等于0。元素2的阶是2，因为2加2次等于0。元素3的阶也是4。通过循环图可以直观看到元素1如何通过连续运算回到单位元0。
子群是群论中的重要概念，它是群的子集，在相同的运算下也构成群。子群的判定有三个条件：首先子集非空，其次在运算下封闭，最后每个元素都有逆元。一个经典例子是整数群ℤ中的偶数子群2ℤ。我们可以验证：偶数集合非空，因为0是偶数；两个偶数相加仍是偶数，满足封闭性；每个偶数的相反数仍是偶数，满足逆元存在性。通过包含关系图可以直观看到子群与原群的层次结构关系。