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导数是微积分中的核心概念，用来描述函数在某一点的瞬时变化率。导数的定义是f'(x)等于当h趋于0时，f(x+h)减去f(x)再除以h的极限。几何上，导数表示函数图像在该点切线的斜率。当h逐渐减小时，连接两点的割线逐渐接近切线，其斜率就是导数值。
现在我们将导数定义具体应用到正弦函数上。设f(x)等于sin x，根据导数定义，sin x的导数等于当h趋于0时，sin(x+h)减去sin x再除以h的极限。在正弦函数图像上，我们可以看到x点和x+h点的位置，以及对应的函数值。接下来我们需要利用三角恒等式来展开sin(x+h)，然后化简分子部分，最终计算出这个极限值。
现在我们利用三角恒等式来展开sin(x+h)。根据两角和公式，sin(x+h)等于sin x乘以cos h加上cos x乘以sin h。在单位圆中，我们可以直观地理解这个公式：角x对应一个点，角h是额外的角度，x+h是总角度。将这个展开式代入原来的极限表达式，我们得到sin x乘以cos h加上cos x乘以sin h减去sin x，全部除以h的极限。进一步整理，可以写成sin x乘以括号cos h减1加上cos x乘以sin h，全部除以h的极限形式。
现在我们将复合极限分解为两个独立的极限，这样可以简化计算过程。原来的极限表达式可以分离成两部分：第一部分是sin x乘以cos h减1除以h的极限，第二部分是cos x乘以sin h除以h的极限。由于sin x和cos x都是与h无关的常数，可以提取到极限符号外面。这样我们就得到了两个需要分别计算的重要极限。在图像中可以看到，当h趋于0时，这两个函数的行为：cos h减1除以h趋于0，而sin h除以h趋于1。
现在我们来计算这两个关键的三角极限。第一个重要极限是当h趋于0时，sin h除以h的极限等于1。这个极限可以通过几何方法或洛必达法则来证明。第二个重要极限是当h趋于0时，cos h减1除以h的极限等于0。这可以利用半角公式或等价无穷小来证明。在图像中我们可以清楚地看到，当h逐渐趋于0时，蓝色曲线sin h除以h趋向于1，红色曲线cos h减1除以h趋向于0。这两个极限是三角函数求导的重要基础。