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三角函数是数学中描述直角三角形角度与边长关系的重要工具。在直角三角形中，我们定义正弦函数为对边与斜边的比值，余弦函数为邻边与斜边的比值，正切函数为对边与邻边的比值。这三个基本的三角函数为我们解决几何问题提供了强有力的数学工具。
单位圆是半径为1、圆心在原点的圆。在单位圆上，任意角度θ对应的点的坐标就是该角的余弦值和正弦值。当点沿着单位圆运动时，我们可以清楚地看到正弦和余弦值的变化规律。这种几何表示帮助我们直观理解三角函数的周期性和对称性。
三角函数的图像展现了其重要特性。正弦和余弦函数都是周期函数，周期为2π，振幅为1，值域在负1到1之间。正弦函数关于原点对称，余弦函数关于y轴对称。在关键角度如0、π/2、π、3π/2、2π处，函数值有特殊的规律。这些图像特性帮助我们理解和应用三角函数。
特殊角度的三角函数值是必须掌握的基础知识。通过30-60-90度直角三角形，我们可以推导出30度和60度角的三角函数值。通过45-45-90度等腰直角三角形，我们可以得到45度角的三角函数值。这些特殊值在实际计算中经常用到，掌握它们的规律有助于快速解题。
三角函数在实际生活中有广泛应用。第一个例题展示如何利用正切函数计算建筑物高度：已知观测角度30度和水平距离100米，通过正切函数可以求出建筑物高度约为57.7米。第二个例题演示如何计算斜坡角度：已知水平距离50米和垂直高度20米，通过反正切函数可以求出斜坡角度约为21.8度。这些应用展示了三角函数在测量和工程中的重要作用。