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椭圆是平面几何中的重要曲线。它的定义是：平面上到两个定点F1和F2的距离之和为常数的点的轨迹。这两个定点叫做椭圆的焦点，距离之和通常记为2a。当点P在椭圆上移动时，PF1加PF2的长度始终保持不变。
椭圆有三个重要的基本参数。长半轴a是椭圆上的点到中心的最大距离，短半轴b是最小距离，焦距c是焦点到中心的距离。这三个参数之间有重要关系：c的平方等于a的平方减去b的平方。其中a大于b大于0。理解这些参数对掌握椭圆的性质非常重要。
现在我们来推导椭圆的标准方程。设椭圆上任意一点P的坐标为x、y，两个焦点分别为F1负c、0和F2正c、0。根据椭圆定义，PF1加PF2等于2a。利用距离公式，我们可以写出根号下x加c的平方加y的平方，加上根号下x减c的平方加y的平方等于2a。通过一系列代数变换，移项、平方、化简，最终得到椭圆的标准方程：x的平方除以a的平方加y的平方除以b的平方等于1。
椭圆有两种标准方程形式，取决于焦点的位置。当焦点在x轴上时，标准方程为x的平方除以a的平方加y的平方除以b的平方等于1，其中a大于b大于0，焦点坐标为负c、0和正c、0。当焦点在y轴上时，标准方程为x的平方除以b的平方加y的平方除以a的平方等于1，焦点坐标为0、负c和0、正c。判断焦点位置的关键是看分母的大小：分母较大的项对应焦点所在的坐标轴。
通过两个典型例题来巩固椭圆标准方程的应用。例题1：已知椭圆长轴长为10，短轴长为6，求标准方程。由长轴长2a等于10得a等于5，由短轴长2b等于6得b等于3，根据关系式c的平方等于a的平方减b的平方，得c等于4。由于a大于b，焦点在x轴上，标准方程为x的平方除以25加y的平方除以9等于1。例题2：已知椭圆方程x的平方除以16加y的平方除以25等于1，求焦点坐标和离心率。由方程可知a的平方等于25，b的平方等于16，所以a等于5，b等于4，c等于3。由于a的平方对应y的平方项，焦点在y轴上，坐标为0负3和0正3，离心率e等于c除以a等于0.6。