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我们来分析二次函数 f(x) = -x² + 4x + 5。二次函数的一般形式是 f(x) = ax² + bx + c，其中 a 不等于零。对于给定函数，我们可以识别出系数：a 等于负一，b 等于四，c 等于五。由于 a 小于零，抛物线开口向下，这意味着函数有最大值。
现在我们通过配方法推导顶点坐标公式。从一般形式 f(x) = ax² + bx + c 开始，首先提取 a，得到 a(x² + b/a·x) + c。然后配方，在括号内加减 b²/(4a²)，得到完全平方式。最终得到顶点形式 f(x) = a(x + b/(2a))² + (4ac - b²)/(4a)。因此顶点坐标为 (-b/(2a), (4ac - b²)/(4a))。
现在我们将具体的系数代入顶点公式进行计算。对于函数 f(x) = -x² + 4x + 5，我们有 a = -1，b = 4，c = 5。计算 x 坐标：x = -b/(2a) = -4/(2×(-1)) = 2。计算 y 坐标：y = (4ac - b²)/(4a) = (4×(-1)×5 - 16)/(-4) = (-20 - 16)/(-4) = 9。我们可以验证：f(2) = -4 + 8 + 5 = 9。因此顶点坐标为 (2, 9)。
现在我们在平面直角坐标系中绘制函数图像。首先标记关键点：顶点 (2, 9)，y 轴截距 (0, 5)。要找 x 轴截距，我们解方程 -x² + 4x + 5 = 0，即 x² - 4x - 5 = 0，因式分解得 (x - 5)(x + 1) = 0，所以 x 轴截距为 (-1, 0) 和 (5, 0)。连接这些关键点，我们得到完整的抛物线，开口向下，对称轴为 x = 2。
最后我们分析函数的完整性质。对称轴为 x = 2，这是抛物线的中心线。由于开口向下，顶点 (2, 9) 是最高点，所以最大值为 9。定义域是所有实数，值域是负无穷到 9 的闭区间。在对称轴左侧，即 x 小于 2 时，函数递增；在对称轴右侧，即 x 大于 2 时，函数递减。顶点是二次函数的关键特征点，它决定了函数的最值和对称性质。