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黎曼和是定积分的基础概念，它的核心思想是用矩形面积之和来逼近曲线下的面积。黎曼和的数学定义是当分割数n趋于无穷时，所有小矩形面积之和的极限。其中，每个小矩形的宽度等于区间长度除以分割数n。这种矩形逼近的方法将连续的曲线区域转化为离散的矩形面积计算，是微积分中从离散到连续思想的重要体现。
现在我们用一个具体例子来演示粗糙的矩形划分。选择函数f(x)等于x的平方，在区间0到2上，用4个矩形进行划分。每个矩形的宽度等于区间长度2除以4，得到0.5。我们采用左端点取值的方法，第一个矩形高度为f(0)等于0，第二个为f(0.5)等于0.25，第三个为f(1)等于1，第四个为f(1.5)等于2.25。将每个矩形面积相加，得到黎曼和为1.75，这就是用4个矩形对曲线下面积的粗糙近似。
现在我们增加矩形的数量来观察逼近精度的提高。理论上，误差与矩形数量n成反比，即n越大误差越小。函数x平方从0到2的真实积分值是8/3，约等于2.667。当我们将矩形数量从4增加到8时，黎曼和变为2.1875，更接近真实值。继续增加到16个矩形时，黎曼和达到2.4219，进一步逼近真实积分值。这个过程清楚地展示了随着分割变细，黎曼和如何逐渐收敛到定积分的真实值。
现在我们来观察矩形连续细分的动态过程。从32个矩形开始，逐渐增加到64、128、256个矩形。随着矩形数量的增加，每个矩形变得越来越窄，矩形的总面积越来越接近曲线下的真实面积。我们用颜色的变化来表示逼近程度的提高，从蓝色逐渐过渡到绿色。当矩形数量趋于无穷时，矩形宽度趋于零，黎曼和就收敛到定积分的精确值8/3。这个连续细分的过程完美地展示了从离散求和到连续积分的数学思想。
黎曼和有三种不同的取点方式，每种方式给出不同的近似结果。左黎曼和使用每个子区间的左端点函数值，右黎曼和使用右端点函数值，中点黎曼和使用中点函数值。我们用不同颜色来区分：蓝色表示左端点，红色表示右端点，绿色表示中点。对于递增函数如x平方，左黎曼和会低估面积，右黎曼和会高估面积，而中点黎曼和通常给出最接近真实值的结果。当n等于16时，左端点给出2.4219，右端点给出2.9219，中点给出2.6641，最接近真实积分值8/3。