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黎曼和是定积分的基础概念，它的核心思想是用矩形面积之和来逼近曲线下的面积。黎曼和的数学定义是当分割数n趋于无穷时，所有小矩形面积之和的极限。其中，每个小矩形的宽度等于区间长度除以分割数n。这种矩形逼近的方法将连续的曲线区域转化为离散的矩形面积计算，是微积分中从离散到连续思想的重要体现。
现在我们用一个具体例子来演示粗糙的矩形划分。选择函数f(x)等于x的平方，在区间0到2上，用4个矩形进行划分。每个矩形的宽度等于区间长度2除以4，得到0.5。我们采用左端点取值方式，即每个矩形的高度取左端点的函数值。第一个矩形高度为f(0)等于0，面积为0。第二个矩形高度为f(0.5)等于0.25，面积为0.125。第三个矩形高度为f(1)等于1，面积为0.5。第四个矩形高度为f(1.5)等于2.25，面积为1.125。四个矩形面积之和为1.75，这就是我们的黎曼和近似值。
现在我们增加矩形的数量来观察逼近精度的提高。函数f(x)等于x平方在区间0到2上的真实积分值是8/3，约等于2.667。理论上，误差与1/n成正比，即矩形数量越多，误差越小。当n等于8时，每个矩形宽度为0.25，计算得到的黎曼和为2.1875。当n增加到16时，每个矩形宽度变为0.125，黎曼和变为2.4219，明显更接近真实值。我们可以看到，随着矩形数量的增加，矩形变得更细，黎曼和逐渐收敛到真实的积分值。
现在我们来观察矩形连续细分的动画过程，直观展示黎曼和如何收敛到定积分。从n等于32开始，我们逐渐增加矩形数量到64、128、256等。随着n的增大，每个矩形的宽度趋向于0，而矩形的数量趋向于无穷。在这个过程中，矩形的颜色从蓝色逐渐过渡到绿色，表示逼近精度的提高。我们可以看到，矩形变得越来越细，几乎完全填满了曲线下方的区域。黎曼和的数值也越来越接近真实的积分值8/3。这个动画完美展示了微积分中极限的概念，即当分割无限细化时，离散的矩形面积之和收敛到连续的曲线下面积。
黎曼和有三种不同的取点方式，每种方式会产生不同的近似结果。左黎曼和使用每个子区间左端点的函数值作为矩形高度，用蓝色表示。右黎曼和使用右端点的函数值，用红色表示。中点黎曼和使用子区间中点的函数值，用绿色表示。当n等于16时，我们可以看到三种方法的明显差异。左黎曼和得到2.4219，由于函数递增，左端点值较小，所以结果偏小。右黎曼和得到2.9219，右端点值较大，结果偏大。中点黎曼和得到2.6719，最接近真实积分值8/3约等于2.667。一般来说，中点黎曼和的精度最高，因为它能更好地平衡函数在每个子区间内的变化。