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将军饮马问题是初中几何中的一个经典优化问题。问题的背景是:一位将军从营地A出发,需要先到河边给马饮水,然后前往目的地B。问题的核心是:在河边选择哪个点作为饮马点,能够使得从A到饮马点再到B的总路程最短?这个问题体现了数学中寻找最优解的思想,是几何优化问题的典型代表。
要解决将军饮马问题,我们需要运用轴对称变换的原理。轴对称变换有几个重要性质:对称点到轴的距离相等,连接对称点的直线垂直于对称轴,对称轴是对称点连线的垂直平分线。最关键的性质是:点A到直线l上任意一点的距离,等于A的对称点A撇到该点的距离。现在我们来演示如何作点A关于直线l的对称点A撇。
现在我们来求解最短路径。解题的关键思路是:首先作点A关于直线l的对称点A撇,然后连接A撇B,这条直线与河流l的交点P就是最优的饮马点。为什么这样做呢?因为根据对称性质,A到P的距离等于A撇到P的距离,所以总路径AP加PB等于A撇P加PB,也就等于A撇B的长度。而A撇B是一条直线,根据两点之间直线最短的原理,这就是最短路径。如果选择河边的其他任意点Q,路径长度AQ加QB会大于A撇B,所以P点确实是最优选择。
现在我们来给出严格的数学证明。设河边任意一点为Q,我们要证明AP加PB小于AQ加QB。证明过程如下:首先,由轴对称的性质,AP等于A撇P。因此,AP加PB等于A撇P加PB,也就等于A撇B的长度。对于河边任意一点Q,同样由对称性质,AQ等于A撇Q,所以AQ加QB等于A撇Q加QB。在三角形A撇QB中,根据三角形两边之和大于第三边的性质,A撇Q加QB大于A撇B。因此,AP加PB小于AQ加QB,这就证明了P点确实是使总路径最短的饮马点。
现在我们通过一个具体的例题来巩固解题方法。题目是:在坐标系中,点A的坐标是(2,3),点B的坐标是(6,1),直线l是x轴,求最短路径的长度。解题步骤如下:首先,找到点A关于x轴的对称点A撇,坐标为(2,-3)。然后计算A撇到B的距离。根据两点间距离公式,距离等于根号下(6-2)的平方加上(1-(-3))的平方,等于根号下4的平方加上4的平方,等于根号下16加16,等于根号32,也就是4倍根号2。因此,最短路径的长度是4倍根号2。