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树链剖分是一种重要的树上数据结构技术。它的核心思想是将树分解为若干条不相交的链，从而将树上问题转化为链上问题。在树链剖分中，我们定义重边为连接到最大子树的边，轻边为其他所有边。每个节点最多只能有一条重边向下连接。通过这种划分方式，我们可以将树分解为多条重链，为后续的查询操作提供高效的数据结构基础。
树链剖分是一种重要的数据结构技术，它将树分解为若干条重链，使得我们可以高效地处理树上路径的各种查询操作，包括最近公共祖先查询。
树链剖分的预处理包括两次深度优先搜索。第一次DFS计算每个节点的深度、父节点、子树大小和重儿子。重儿子是子树大小最大的儿子节点。第二次DFS计算每个节点所在重链的顶端和DFS序。在第二次DFS中，我们优先访问重儿子，这样可以保证同一条重链上的节点在DFS序中是连续的。
使用树链剖分求LCA的核心思想是：当两个节点不在同一重链上时，将深度更大的重链顶端跳跃到其父节点，重复此过程直到两节点位于同一重链，然后返回深度较小的节点。这种方法的时间复杂度是O(logN)，非常高效。
基于树链剖分的LCA查询算法的核心思想是利用重链的性质快速向上跳跃。具体过程如下：首先标记要查询的两个节点，比如节点8和节点9。然后检查它们是否在同一重链上，如果不在，就将深度较大的重链顶端跳跃到其父节点。对于节点8，它沿着重链向上到达节点4，然后跳到节点2，再跳到节点1。对于节点9，它沿着重链向上到达节点6，然后跳到节点3，再跳到节点1。当两个节点都到达同一重链时，返回深度较小的节点作为最近公共祖先。在这个例子中，LCA就是节点1。
树链剖分求LCA算法的复杂度分析如下：预处理阶段需要进行两次深度优先搜索，时间复杂度为O(n)。查询阶段，由于重链的性质，每次跳跃都会使深度至少减半，因此最多需要跳跃O(log n)条重链，查询时间复杂度为O(log n)。与其他LCA算法相比，树链剖分在预处理和查询之间取得了很好的平衡。倍增法预处理需要O(n log n)时间，Tarjan算法虽然查询是O(1)但需要离线处理，而朴素算法查询需要O(n)时间。树链剖分是在线查询中较为优秀的选择。