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双曲线是平面上到两个定点距离差的绝对值为常数的点的轨迹。这两个定点称为焦点F1和F2，对于双曲线上任意一点P，都满足距离差关系：PF1减PF2的绝对值等于2a。双曲线的标准方程为x²/a²减y²/b²等于1，其中a为实半轴长，b为虚半轴长，c为焦距的一半，它们之间满足关系式a²加b²等于c²。
双曲线的离心率定义为e等于c除以a，它反映了双曲线开口的程度。离心率大于1是双曲线的重要特征，这区别于椭圆的离心率小于1。离心率越大，双曲线的开口就越大。结合关系式a²加b²等于c²，我们可以得到离心率的另一个表达式：e等于根号下1加b²除以a²。
从基本定义e等于c除以a出发，结合关系式a²加b²等于c²，我们可以推导出离心率的多种表达形式。首先是基本定义e等于c除以a。通过代数变换，我们得到e²等于c²除以a²，等于a²加b²除以a²，等于1加b²除以a²，因此e等于根号下1加b²除以a²。我们还可以写成e等于根号下a²加b²除以a。这些公式在实际计算中都很有用。
现在我们通过具体例题来演示如何从标准方程求离心率。给定双曲线方程x²除以9减去y²除以16等于1。首先识别参数：a²等于9，b²等于16，所以a等于3，b等于4。然后计算c²等于a²加b²等于9加16等于25，所以c等于5。最后求离心率：e等于c除以a等于5除以3。这就是完整的解题步骤。
现在我们处理包含渐近线条件的离心率计算问题。已知双曲线的渐近线方程为y等于正负三分之二x，求离心率。从渐近线方程可知，渐近线的斜率为三分之二，这等于b除以a。利用公式e等于根号下1加b除以a的平方，代入得e等于根号下1加三分之二的平方，等于根号下1加九分之四，等于根号下十三分之九，最终得到e等于三分之根号十三。