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中点坐标公式是解析几何中的基础公式。中点是线段上将线段等分为两段的点。对于平面上任意两点A和B，它们连线的中点M的坐标可以通过中点坐标公式计算：M的横坐标等于两点横坐标的平均值，纵坐标等于两点纵坐标的平均值。
现在我们来推导中点坐标公式。设线段AB的端点为A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，中点M的坐标为(x,y)。根据中点的定义，向量AM等于向量MB。用坐标表示就是(x-x₁, y-y₁)等于(x₂-x, y₂-y)。解这个方程组，得到x等于x₁加x₂的和除以2，y等于y₁加y₂的和除以2。这就是中点坐标公式的推导过程。
现在我们通过一个具体例子来应用中点坐标公式。已知点A的坐标是(2,3)，点B的坐标是(8,7)，求线段AB中点M的坐标。首先应用中点坐标公式，中点的横坐标等于两点横坐标的平均值，即2加8除以2等于5。纵坐标等于两点纵坐标的平均值，即3加7除以2等于5。因此中点M的坐标是(5,5)。我们可以在坐标系中验证，点M确实位于线段AB的中间位置。
现在我们分析中点坐标公式在特殊情况下的应用。第一种情况是水平线段，比如A(1,3)和B(7,3)，它们的纵坐标相同，中点坐标为(4,3)。第二种情况是竖直线段，比如C(4,1)和D(4,7)，它们的横坐标相同，中点坐标为(4,4)。第三种情况是过原点的线段，比如E(0,0)和F(6,8)，中点坐标为(3,4)。通过这些例子可以看出，中点坐标公式在所有情况下都适用，具有普遍性。
最后我们通过一个综合应用练习来巩固中点坐标公式的使用。已知三角形ABC的三个顶点A(-2,1)、B(4,5)、C(2,-3)，求各边中点的坐标。首先求边AB的中点D，坐标为(1,3)。然后求边BC的中点E，坐标为(3,1)。最后求边AC的中点F，坐标为(0,-1)。将这三个中点连接起来，我们可以验证三角形的中点连线定理：中点连线平行于第三边，且长度为第三边的一半。这个例子展示了中点坐标公式在解决几何问题中的重要应用。