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韦达定理是代数学中的重要定理，由16世纪法国数学家弗朗索瓦·韦达发现。这个定理揭示了一元二次方程的系数与方程根之间的深刻关系。对于标准形式的一元二次方程ax²+bx+c=0，其中a不等于0，韦达定理为我们提供了不需要直接求根就能了解根的性质的方法，在代数学中具有重要地位。
现在我们来详细推导一元二次方程中根与系数的具体关系。设一元二次方程ax²+bx+c=0的两根为x₁和x₂。根据求根公式，我们可以得到两个根的表达式。通过计算两根之和，我们发现x₁+x₂等于负b除以a。同样地，通过计算两根之积，利用平方差公式化简后，我们得到x₁乘以x₂等于c除以a。这就是韦达定理的核心公式。
现在我们系统总结韦达定理的完整公式形式。对于标准的一元二次方程ax²+bx+c=0，其中a不等于0，当判别式Δ等于b²减4ac大于等于0时，方程有实数根。设两根为x₁和x₂，则韦达定理给出两个重要关系：第一，两根之和x₁+x₂等于负b除以a；第二，两根之积x₁乘以x₂等于c除以a。这里a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。记住这些公式结构对解题非常重要。
现在我们通过一个具体的数值例题来演示韦达定理的应用。题目是：已知方程2x²-5x+3=0，求两根之和与两根之积。首先识别系数：a等于2，b等于负5，c等于3。然后应用韦达定理公式：两根之和等于负b除以a，即负负5除以2，等于5/2；两根之积等于c除以a，即3除以2。最后我们可以通过求根公式验证：两根分别是3/2和1，它们的和确实是5/2，积确实是3/2，验证了我们的计算结果。
现在我们来看韦达定理的逆向应用，即已知两根求原方程。例题：已知一元二次方程的两根分别为3和负2，求原方程。解题步骤如下：首先计算两根之和，3加负2等于1；两根之积，3乘以负2等于负6。然后利用韦达定理的逆向思维，如果两根之和等于负b除以a等于1，两根之积等于c除以a等于负6，我们可以设a等于1，则b等于负1，c等于负6。因此构造的方程为x²-x-6=0。我们可以通过因式分解验证：(x-3)(x+2)确实等于x²-x-6，说明我们的方法正确。