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匀加速运动是物理学中的基本运动形式。在这种运动中，物体的加速度保持恒定不变。从速度-时间图像可以看出，速度随时间呈线性增长，图像是一条直线。直线的斜率就是加速度的大小。初速度v0是物体在t=0时刻的速度，加速度a决定了速度变化的快慢。
现在我们来推导匀加速运动的速度公式。根据加速度的定义，加速度等于速度变化量除以时间间隔，即a等于v减v0除以t。通过移项整理，我们得到v减v0等于at，进一步得到速度公式v等于v0加at。这个公式表明，任意时刻的速度等于初速度加上加速度与时间的乘积。从图像上看，这是一条斜率为a的直线。
现在用图像法推导距离公式。在速度-时间图像中，图像下方的面积就代表物体的位移。我们可以将这个面积分解为两部分：一个矩形和一个三角形。矩形的面积等于初速度乘以时间，即v0乘t，代表匀速运动产生的位移。三角形的面积等于二分之一乘以底边乘以高，即二分之一at的平方，代表加速度产生的额外位移。两部分相加，得到总位移公式s等于v0t加二分之一at的平方。
现在用微积分方法来验证我们的距离公式。从速度公式v等于v0加at出发，根据位移的定义，位移等于速度对时间的积分。将速度公式代入积分式，得到s等于从0到t积分v0加at。利用积分的线性性质，将积分分解为两部分。第一部分v0对时间的积分等于v0乘t，第二部分at对时间的积分等于a乘t的平方除以2。最终得到s等于v0t加二分之一at的平方，这与图像法得到的结果完全一致，验证了公式的正确性。
现在通过两个具体例题来练习距离公式的应用。例题1：汽车从静止开始以2米每秒平方的加速度行驶10秒，求行驶距离。已知初速度为0，加速度为2，时间为10秒。代入公式s等于v0t加二分之一at平方，得到s等于0乘10加二分之一乘2乘100，结果为100米。例题2：物体以5米每秒的初速度和负1米每秒平方的加速度运动3秒。这里加速度为负值，表示减速。代入公式得到s等于15减4.5，结果为10.5米。注意加速度的正负号表示方向。