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因式定理是多项式理论中的重要定理，它建立了多项式零点与因式之间的关系。定理内容是：对于多项式f(x)，如果f(a)等于0，则(x-a)是f(x)的一个因式。让我们通过一个简单的例子来理解这个定理。考虑多项式f(x)等于x的平方减5x加6。当x等于2时，我们计算f(2)等于4减10加6等于0。因为f(2)等于0，根据因式定理，(x-2)是f(x)的一个因式。实际上，这个多项式可以分解为(x-2)乘以(x-3)。
现在我们来严格证明因式定理。设多项式f(x)除以(x-a)，根据多项式除法，可以写成f(x)等于(x-a)乘以商式q(x)加上常数余项r。当x等于a时，我们得到f(a)等于(a-a)乘以q(a)加r，也就是0乘以q(a)加r，等于r。如果f(a)等于0，那么r就等于0，因此f(x)等于(x-a)乘以q(x)，这说明(x-a)是f(x)的因式。让我们通过一个具体例子来演示这个过程。考虑f(x)等于x的三次方减2x的平方加x减2，除以(x-2)。通过多项式长除法，我们得到x的三次方减2x的平方加x减2等于(x-2)乘以(x的平方加1)。验证f(2)等于8减8加2减2等于0，余项为0，这证明了(x-2)确实是f(x)的因式。
现在我们通过一个具体的例题来演示因式定理的应用。题目是：判断(x-3)是否为f(x)等于x的三次方减6x的平方加11x减6的因式。根据因式定理，我们需要计算f(3)的值。将x等于3代入多项式，得到f(3)等于27减54加33减6，计算结果等于0。因为f(3)等于0，根据因式定理，(x-3)确实是f(x)的因式。接下来我们通过多项式长除法来求出商式。f(x)等于(x-3)乘以q(x)，通过长除法计算得到商式q(x)等于x的平方减3x加2。因此f(x)等于(x-3)乘以(x的平方减3x加2)。我们可以进一步分解x的平方减3x加2，得到(x-1)乘以(x-2)。所以f(x)的完全分解式为(x-3)(x-1)(x-2)，对应的所有零点为x等于1、2、3。
现在我们学习如何利用因式定理系统性地寻找多项式的所有零点。寻找零点的基本策略是：首先尝试常数项的因数作为可能的零点，然后验证f(a)是否等于0，如果成立就进行多项式除法，最后重复这个过程直到完全分解。让我们以f(x)等于x的三次方减2x的平方减5x加6为例。常数项是6，它的因数有正负1、正负2、正负3、正负6。我们开始测试：当x等于1时，f(1)等于1减2减5加6等于0，所以x等于1是一个零点。通过多项式除法，我们得到f(x)等于(x-1)乘以(x的平方减x减6)。接下来分解二次式x的平方减x减6，得到(x-3)(x+2)。因此完全分解式为f(x)等于(x-1)(x-3)(x+2)，对应的所有零点为x等于1、3、负2。
最后我们通过一个综合问题来展示因式定理在多项式完全分解中的重要作用。题目是：已知多项式f(x)等于x的四次方减10x的平方加9有两个已知零点x等于1和x等于负1，求所有零点并完全分解。解题思路是：首先验证已知零点，然后构造对应因式，进行多项式除法，最后继续分解。让我们开始详细的解题过程。首先验证：f(1)等于1减10加9等于0，f(-1)等于1减10加9等于0，验证成功。由于x等于1和x等于负1都是零点，我们可以构造因式(x-1)(x+1)等于x的平方减1。通过多项式长除法，我们得到f(x)等于(x的平方减1)乘以商式q(x)，计算得到q(x)等于x的平方减9。因此f(x)等于(x的平方减1)乘以(x的平方减9)，进一步分解得到(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)。所有零点为正负1和正负3。这个例子充分展示了因式定理在多项式完全分解中的重要作用。