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完全立方公式是代数中的重要恒等式，用于展开两项和或差的立方。和的立方公式是括号a加b的立方等于a的立方加3a平方b加3ab平方加b的立方。差的立方公式是括号a减b的立方等于a的立方减3a平方b加3ab平方减b的立方。这些公式可以通过立方体的几何意义来理解。
现在让我们逐步推导和的立方公式。首先，括号a加b的立方等于括号a加b乘以括号a加b的平方。然后将a加b的平方展开为a平方加2ab加b平方。接下来用分配律展开，得到a乘以括号a平方加2ab加b平方，加上b乘以括号a平方加2ab加b平方。继续展开得到a的立方加2a平方b加ab平方，加上ba平方加2ab平方加b的立方。最后合并同类项，得到a的立方加3a平方b加3ab平方加b的立方。
现在让我们推导差的立方公式。首先，括号a减b的立方等于括号a减b乘以括号a减b的平方。然后将a减b的平方展开为a平方减2ab加b平方。接下来用分配律展开，得到a乘以括号a平方减2ab加b平方，减去b乘以括号a平方减2ab加b平方。继续展开得到a的立方减2a平方b加ab平方，减去ba平方加2ab平方减b的立方。最后合并同类项，得到a的立方减3a平方b加3ab平方减b的立方。对比两个公式，我们发现符号有规律的变化。
让我们分析完全立方公式的结构特点。首先，两个公式的首项都是a的立方，末项都是b的立方。其次，中间两项的系数都是3，分别是3a平方b和3ab平方。最重要的是符号规律：和的立方公式中所有项都是正号，而差的立方公式中符号交替变化，第一项和第三项与和的立方相同，第二项和第四项符号相反。这个规律可以帮助我们快速记忆和应用这两个公式。
现在让我们通过具体的数值例子来验证公式的正确性。第一个例题是计算括号2加3的立方。根据和的立方公式，等于2的立方加3乘以2的平方乘以3，加3乘以2乘以3的平方，加3的立方。计算得到8加36加54加27等于125。我们可以验证，5的立方确实等于125。第二个例题是计算括号5减2的立方。根据差的立方公式，等于5的立方减3乘以5的平方乘以2，加3乘以5乘以2的平方，减2的立方。计算得到125减150加60减8等于27。验证3的立方确实等于27。通过这些例子，我们可以看到公式应用的步骤：首先识别a和b的值，然后代入公式，接着计算各项，最后求和得到结果。