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帕普斯定理是几何学中的重要定理。它告诉我们，当一个平面图形绕不与其相交的轴旋转时，所得旋转体的体积等于该图形面积乘以其重心所走过的路径长度。公式表示为V等于A乘以2πr，其中V是旋转体体积，A是平面图形面积，r是重心到旋转轴的距离。重心在旋转过程中会沿着一个圆形路径运动，这个路径的长度就是2πr。
长方形是最基本的几何图形之一，具有明确的几何性质。长方形的面积公式是长乘以宽，即S等于a乘以b。长方形的重心位于几何中心，也就是两条对角线的交点。如果长方形的一个顶点在原点，那么重心的坐标就是a除以2和b除以2。这个重心位置对于应用帕普斯定理计算旋转体积非常重要。
当长方形绕其一边旋转时，会形成一个圆柱体。根据帕普斯定理，旋转体的体积等于长方形面积乘以重心所走过的路径长度。重心到旋转轴的距离为r，重心在旋转过程中形成一个半径为r的圆形轨迹，路径长度为2πr。因此体积公式为V等于A乘以2πr。这个结果与圆柱体体积公式πR²h是一致的，验证了帕普斯定理的正确性。
现在我们从帕普斯定理反推长方形面积公式。根据帕普斯定理，V等于A乘以2πr，因此面积A等于V除以2πr。我们知道圆柱体的体积公式是V等于πR²h，将此代入得到A等于πR²h除以2πr，化简后得到A等于R²h除以2r。通过几何关系分析，R等于长方形的宽加上重心到旋转轴的距离，h等于长方形的长，最终推导出A等于长乘以宽的经典面积公式。
现在我们用具体数值验证帕普斯定理。考虑一个长为6、宽为4的长方形。方法一：直接计算面积等于6乘以4等于24。方法二：使用帕普斯定理。长方形绕距离其左边2个单位的轴旋转，重心到旋转轴的距离r等于2。旋转形成的圆柱体半径R等于4，高h等于6，体积V等于π乘以4²乘以6等于96π。根据帕普斯定理，面积S等于V除以2πr，即96π除以4π等于24。两种方法得到相同结果，验证了帕普斯定理的正确性。