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函数模型是我们解决实际问题的重要数学工具。在生活中，很多问题都可以用函数来描述。比如商店定价问题：价格是自变量，它影响销量，进而影响利润这个因变量。通过建立函数模型，我们可以找到最优的定价策略，实现利润最大化。
经济最值问题是函数模型的经典应用。比如这个生产问题：工厂的利润函数是二次函数，开口向下，存在最大值。通过求导数等于零，我们找到最优产量是90件，此时虽然利润为负10，但这是在给定条件下的最大利润。同时我们还能找到盈亏平衡点，帮助企业做出决策。
求解经济最值问题有标准步骤。首先对利润函数求导，得到导数P'(x) = 18 - 0.2x。然后令导数等于零，解得x = 90。最后验证二阶导数小于零，确认是最大值。从导数图像可以看出：当x小于90时导数为正，利润递增；当x大于90时导数为负，利润递减。所以x = 90就是最优产量。
测量问题是三角函数的重要应用。比如测量河对岸塔的高度，我们在河这边选择两个观测点A和B，相距100米。从A点测得塔顶仰角30度，从B点测得45度。设塔高为h，A点到塔底距离为x，则可以建立两个方程：tan30度等于h除以x，tan45度等于h除以x减100。
现在来求解这个方程组。由于tan30度等于根号3除以3，tan45度等于1，我们得到h等于x乘以根号3除以3，也等于x减100。联立这两个等式，解得x约等于236.6米，塔高h约等于136.6米。从图像上可以看到两条直线的交点就是我们的解，这就是函数模型在测量问题中的应用。
通过这两个例子，我们看到函数模型的强大作用：它能将复杂的实际问题转化为数学问题，通过数学方法求解，最终得到实际问题的答案。这就是数学建模的魅力所在。
经济最值问题是函数建模的经典应用。以工厂生产为例，我们需要建立成本函数、收入函数和利润函数。成本函数是线性的，包含固定成本和变动成本。收入函数是二次函数，反映了市场饱和效应。利润函数等于收入减去成本，通过求导找到最优产量点，实现利润最大化。
更复杂的经济问题涉及分段函数和约束条件。电商平台的批量折扣策略就是典型例子。不同购买量对应不同单价，形成分段收入函数。我们需要分别计算每段的最值，然后比较边界点的函数值。注意分段点处函数值可能不连续，这些关键点往往是最优解的候选点。
测量问题是几何优化的典型应用。围栏问题看似简单，实际蕴含深刻的数学思想。我们将几何约束转化为函数关系：周长固定时，面积是长度的二次函数。通过动画可以看出，当长宽相等时面积最大，这就是著名的等周问题。数学告诉我们，在周长固定的所有矩形中，正方形面积最大。
函数模型解题有通用的策略和步骤。首先要深入分析问题背景，明确优化目标。然后合理设定变量，确定定义域。接着建立函数关系，处理各种约束条件。求解时要综合运用导数、极值理论，特别注意检查边界点。最后验证结果的实际意义。不同类型问题有不同特征：经济问题多为二次函数，测量问题涉及几何约束，分段问题需要逐段分析。