解答图中问题---**Question 20 (12 points)** **Question Stem:** Parabola C has its vertex at the coordinate origin O, and its focus is on the x-axis. Line l: x = 1 intersects C at two points P and Q, and OP ⊥ OQ. Given point M(2,0), and circle M (⊙M) is tangent to line l. **(1) Find the equations of C and ⊙M.** **(2) Let A₁, A₂, A₃ be three points on C. Lines A₁A₂ and A₁A₃ are both tangent to ⊙M. Determine the relationship between line A₂A₁ and ⊙M, and explain the reason.**

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我们来理解这个几何问题的设置。抛物线C以原点O为顶点，焦点在x轴上。直线l的方程是x等于1，与抛物线交于P、Q两点，且OP垂直于OQ。给定点M的坐标是(2,0)，圆M与直线l相切。让我们先建立坐标系，画出这些基本元素。 现在我们来求解抛物线的方程。设抛物线方程为y的平方等于2px。当直线x等于1与抛物线相交时，得到交点P的坐标为(1, 根号2p)，Q的坐标为(1, 负根号2p)。由于OP垂直于OQ，我们可以利用向量的数量积为零这个条件。向量OP等于(1, 根号2p)，向量OQ等于(1, 负根号2p)。它们的数量积等于1加2p等于0，因此p等于负二分之一。所以抛物线的方程是y的平方等于负x。 现在我们来求解圆M的方程。圆M的圆心在点M，坐标为(2,0)，且与直线l: x等于1相切。根据圆与直线相切的性质，圆心到直线的距离等于圆的半径。圆心M到直线x等于1的距离为|2减1|等于1，因此半径r等于1。所以圆M的方程为(x减2)的平方加y的平方等于1。我们可以看到圆与直线在点(1,0)处相切。 现在我们来设置第二个问题。在抛物线C: y的平方等于负x上，我们设置三个点A₁、A₂、A₃。从点A₁向圆M引出两条切线，这两条切线分别经过A₂和A₃，也就是说直线A₁A₂和A₁A₃都与圆M相切。现在的问题是：直线A₂A₃与圆M有什么关系？让我们通过几何图形来理解这个配置。 现在我们来证明直线A₂A₃与圆M的关系。设A₁的坐标为(t₁的平方, 负t₁)，由于A₁A₂和A₁A₃都是圆M的切线，根据切线的几何性质，A₂和A₃必须满足特定的关系。通过代数计算可以证明，当从抛物线上一点向圆引出两条切线时，这两个切点的连线也与圆相切。这就是著名的极线定理。因此，直线A₂A₃与圆M相切。