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解析延拓是复分析中的重要概念。考虑函数f(z)等于1除以1减z，在单位圆内可以表示为幂级数。但这个函数实际上在除了z等于1之外的整个复平面都有定义。解析延拓就是研究如何将函数从小的定义域扩展到更大区域的方法。
解析延拓的正式定义如下：设函数f(z)在区域D1内解析，函数g(z)在区域D2内解析。如果两个区域的交集非空，且在交集内f(z)等于g(z)，那么我们称g(z)是f(z)的解析延拓。这个定义确保了延拓后的函数在重叠区域内保持一致性。
解析延拓的唯一性由恒等定理保证。恒等定理说：如果两个解析函数在连通区域D内解析，且在D的某个子集E上相等，而E在D内有聚点，那么这两个函数在整个D内都相等。这意味着函数值的相等性会从局部传播到全局，因此解析延拓是唯一的。
幂级数延拓是解析延拓的重要方法。对于函数f(z)等于1除以1减z，原本在单位圆内收敛。我们可以选择收敛圆内的新点z0作为展开中心，构造新的幂级数。新级数在以z0为中心的圆内收敛，从而将函数的定义域扩展到新的区域。通过重复这个过程，可以将函数延拓到更大的区域。
现在我们通过具体计算来演示解析延拓过程。对函数f(z)等于1除以1减z，选择新的展开中心z0等于二分之一。通过代数变换，我们得到新的幂级数表示，其收敛域为z减二分之一的绝对值小于二分之一。这样就成功地将函数从原来的单位圆延拓到了包含更多点的区域。