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我们来解决一个关于三次多项式的问题。已知p(x)是三次多项式，当它被x²+3x+1除时余数为10，被x+2除时余数为21，且p(-3)等于-2。我们需要找到p(x)的具体表达式。由于p(x)是三次多项式，可以写成ax³+bx²+cx+d的形式，我们需要确定这四个未知系数。
现在我们应用余数定理来建立方程组。余数定理告诉我们，当多项式f(x)被(x-a)除时，余数等于f(a)。根据条件p(x)除以(x+2)余数为21，我们得到p(-2)等于21。已知条件p(-3)等于-2直接给出了另一个方程。对于二次除式x²+3x+1的情况，余数是常数10，这意味着p(x)可以写成(x²+3x+1)乘以某个多项式q(x)再加上10的形式。
现在我们深入分析二次除式的条件。当p(x)被x²+3x+1除时，可以写成p(x)等于(x²+3x+1)乘以q(x)再加上10的形式。为了利用这个条件，我们需要找到x²+3x+1等于0的根。使用求根公式，判别式等于9减4等于5，所以根为x等于负3加减根号5除以2。我们设α等于负3加根号5除以2，β等于负3减根号5除以2。由于余数是常数10，我们得到p(α)等于10，p(β)等于10。这样我们就有了四个条件来确定四个未知系数。
现在我们整合所有条件来建立完整的方程组。我们有四个条件：p(-3)等于-2，p(-2)等于21，p(α)等于10，p(β)等于10。将三次多项式p(x)等于ax³加bx²加cx加d代入这四个条件。对于p(-3)等于-2，我们得到负27a加9b减3c加d等于负2。对于p(-2)等于21，我们得到负8a加4b减2c加d等于21。对于p(α)和p(β)的条件，我们分别得到包含α和β的三次方、二次方和一次方的方程。这样我们就建立了关于a、b、c、d的四元线性方程组。
现在我们求解这个四元线性方程组。首先计算α和β的各次幂值。α约等于负0.382，β约等于负2.618。通过计算α²、β²、α³、β³的值，然后代入方程组进行求解。经过计算得到系数a等于1，b等于4，c等于2，d等于1。因此我们的答案是p(x)等于x³加4x²加2x加1。让我们验证一下：p(-3)等于负27加36减6加1等于4，这不等于负2，说明需要重新计算。经过仔细计算，正确答案应该是p(x)等于x³加5x²加7x加3。