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线性代数是现代数学的重要分支，主要研究向量空间、线性变换和矩阵理论。它不仅是纯数学的基础，更在计算机图形学、机器学习、量子力学、经济学等众多领域发挥着关键作用。通过向量和矩阵，我们可以描述和分析复杂的线性关系，解决实际问题。
向量是具有大小和方向的量，可以用坐标形式表示。向量的加法遵循平行四边形法则，即将两个向量首尾相接，从起点到终点的向量就是和向量。向量还可以进行数乘运算，即用标量乘以向量的每个分量。这些基本运算为线性代数奠定了基础。
矩阵是按行列排列的数字阵列，是线性代数中表示线性变换的重要工具。矩阵乘法是矩阵运算的核心，计算时用左矩阵的行与右矩阵的列进行点积运算。例如，二乘二矩阵乘以二维向量，第一个分量等于矩阵第一行与向量的点积，第二个分量等于矩阵第二行与向量的点积。
线性变换是矩阵作用于向量的几何解释，它将向量空间中的点映射到新的位置。线性变换有两个重要性质：保持直线不变和保持原点不变。常见的线性变换包括旋转、缩放、反射和剪切。旋转矩阵可以将向量绕原点旋转指定角度，而缩放矩阵可以改变向量在各个方向上的长度。
行列式是矩阵的一个重要数值特征，它表示线性变换对面积或体积的缩放因子。对于二阶矩阵，行列式等于主对角线元素乘积减去副对角线元素乘积。当行列式不为零时，矩阵可逆，存在逆矩阵。逆矩阵表示原变换的逆向操作，可以将变换后的向量恢复到原来的位置。