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魏尔斯特拉斯函数是数学史上一个具有革命性意义的函数。1872年，德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯构造了这个奇特的函数，它具有一个令人震惊的性质：处处连续但处处不可导。这个发现彻底颠覆了当时数学家们的直觉认识，他们普遍认为连续函数在大部分点上都应该是可导的。魏尔斯特拉斯函数的出现，推动了现代分析学的严格化发展，成为数学史上的重要里程碑。
现在让我们详细了解魏尔斯特拉斯函数的数学定义。函数表示为无穷级数的形式，每一项都是余弦函数，其中a是振幅衰减因子，必须在0和1之间，b是频率增长因子，必须是奇数。最关键的约束条件是ab必须大于1加上二分之三π，这个条件确保了函数既连续又处处不可导。让我们通过动画观察级数的前几项是如何逐步构造出这个复杂函数的。
现在我们来证明魏尔斯特拉斯函数的连续性。证明的关键是使用一致收敛性定理。首先，我们注意到级数的每一项都被a的n次方所控制，由于a小于1，几何级数收敛。根据魏尔斯特拉斯判别法，原级数一致收敛。由于每个余弦函数都是连续的，而一致收敛的连续函数级数仍然连续，因此魏尔斯特拉斯函数在整个实数轴上都是连续的。右图对比了魏尔斯特拉斯函数与普通光滑函数，可以看出虽然都连续，但魏尔斯特拉斯函数显得极其不规则。
魏尔斯特拉斯函数是数学史上一个极其重要的反例函数，它由德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯在1872年构造出来。这个函数彻底颠覆了当时数学家们的直觉认知，证明了一个令人震惊的事实：连续的函数不一定在每个点都可导。在魏尔斯特拉斯之前，数学家们普遍认为连续函数除了个别孤立点外，应该在大部分地方都是可导的。
魏尔斯特拉斯函数的数学定义是一个无穷级数的和。函数表达式为W(x)等于从n等于0到无穷大的a的n次方乘以余弦b的n次方π x的求和。其中参数a满足0小于a小于1，b是正奇数，且ab要大于1加上二分之三π。一个常用的例子是a等于二分之一，b等于3的情况。这个级数的每一项都是一个余弦函数，随着n的增大，频率以几何级数快速增长，而振幅则以几何级数衰减。
魏尔斯特拉斯函数的构造过程体现了数学中的巧妙思想。我们从最简单的余弦函数开始，然后逐步叠加频率越来越高的振荡项。每个新添加的项都有更高的频率，但振幅会按几何级数递减，这样既保证了级数的收敛性，又引入了无穷多个尺度的振荡。通过图像我们可以看到，随着项数的增加，函数变得越来越复杂，出现了更多精细的结构。
现在我们来探讨魏尔斯特拉斯函数最令人震惊的性质：处处不可导。这意味着在函数图像上的任何一点，我们都无法画出一条切线。证明的关键在于分析导数的定义式，当我们试图计算任意点的导数时，会发现极限根本不存在。这是因为函数包含越来越高频的振荡项，这些高频成分在任何尺度下都会产生剧烈的变化。让我们通过放大函数图像来观察这种现象，无论我们放大多少倍，都能看到函数保持着不规则的锯齿状特征，这正是导数不存在的直观体现。