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我们来分析这个二次函数最值问题。已知二次函数y等于x的平方，固定点A在坐标零三，固定点B在坐标三零。动点P在抛物线上，我们需要求三角形ABP面积的最大值。让我们在坐标系中建立这个几何模型。
现在我们来推导三角形面积的计算公式。设动点P的坐标为t和t的平方。利用三角形面积的坐标公式，将A、B、P三点坐标代入，经过化简得到面积表达式。观察右侧图形，当P点在抛物线上移动时，三角形的形状和面积都在变化。
现在我们建立面积函数。通过代数化简，将三角形ABP的面积表示为关于参数t的函数：S(t)等于二分之三乘以t平方加t减3的绝对值。右侧显示了这个面积函数的图像，可以看出这是一个开口向上的V形函数，在t等于负二分之一处达到最小值。
现在分析函数的性质。对于二次函数f(t)等于t平方加t减3，我们计算判别式得到13大于0，说明函数有两个实根。通过求根公式得到两个根的位置。右侧图像显示，函数在两根之间为负值，在两根外侧为正值，这决定了绝对值函数的形状。
现在求解最值。由于在两根之间函数为负，我们去掉绝对值符号并添加负号。对面积函数求导，令导数等于零，得到t等于负二分之一。将此值代入面积公式，计算得到最大面积为二十七分之八。右侧图形显示了最优点P的位置和对应的最大面积三角形。