Explain Prove that the square of any odd integer is always congruent to 1 modulo 8

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奇数是不能被2整除的整数。在数学中，任意奇数都可以表示为2k加1的形式，其中k是整数。例如，当k等于0时得到1，当k等于1时得到3，当k等于2时得到5，以此类推。在数轴上，奇数用红点表示，偶数用蓝点表示，我们可以清楚地看到奇数的分布规律。 模运算是数论中的基本概念，用符号a同余于b模n来表示。这意味着a和b除以n的余数相同。对于模8运算，可能的余数只有0到7这8个数。例如，17除以8余1，25除以8也余1，33除以8还是余1，所以它们都与1模8同余。在右侧的圆形图中，我们用红色标出了余数1的位置。 现在我们来计算任意奇数的平方。设奇数为2k加1，那么它的平方就是2k加1的平方。根据完全平方公式，我们可以展开为2k的平方加上2倍的2k乘以1再加上1的平方，即4k平方加4k加1。我们可以将这个表达式重新整理为4k乘以k加1再加1的形式。这种整理方式有助于我们分析k乘以k加1这个表达式的特殊性质。 现在我们需要证明k乘以k加1必为偶数，这是整个证明的关键步骤。根据整数的性质，任意两个连续整数k和k加1中必有一个是偶数。因为连续的两个整数，一个是奇数，一个是偶数。既然其中一个因子是偶数，那么它们的乘积k乘以k加1必然是偶数，可以表示为2m的形式，其中m是整数。右侧的表格通过具体数值验证了这个结论的正确性。 Now we complete the final proof steps. We have shown that the square of an odd number equals 4k times k plus 1, plus 1. Since we proved that k times k plus 1 equals 2m, we get 4k times k plus 1 equals 4 times 2m, which is 8m. Therefore, any odd integer squared equals 8m plus 1, meaning odd squares are congruent to 1 modulo 8. The circular diagram on the right visually shows this conclusion, with the red sector indicating where all odd squares land in modulo 8.