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我们来分析三个相关的三角函数问题。这三个问题都涉及函数 5cos(x) - cos(5x) 的形式。第一问要求在区间 [0, π/4] 上的最大值，第二问是一个存在性证明问题，第三问要求使不等式恒成立的参数最小值。右侧显示的是基本函数 f(x) = 5cos(x) - cos(5x) 的图像。
现在我们详细求解第一问。首先对函数 f(x) = 5cos(x) - cos(5x) 求导，得到 f'(x) = -5sin(x) + 5sin(5x)。令导数等于零，得到 sin(5x) = sin(x)。解这个方程，在区间 [0, π/4] 内得到临界点 x = 0 和 x = π/6。计算端点和临界点的函数值：f(0) = 4，f(π/6) = 6，f(π/4) = 4√2。比较这些值，可知最大值为 6，在 x = π/6 处取得。
现在证明第二问。对于给定的 θ 属于 (0,π) 和 a 属于实数，我们要证明存在 y 属于区间 [a-θ, a+θ] 使得 cos(y) 小于等于 cos(θ)。证明分两种情况：当 θ 大于等于 π/2 时，cos(θ) 小于等于 0，此时取 y = a 即可满足条件。当 0 < θ < π/2 时，利用余弦函数的周期性质，在长度为 2θ 的区间内，必然存在点使得余弦值不超过 cos(θ)。右图展示了余弦函数图像和相应的区间。
现在分析第三问。我们需要找到函数 g(x,φ) = 5cos(x) - cos(5x + φ) 的上确界。利用三角恒等式展开 cos(5x + φ)，然后对固定的 x，关于 φ 求最大值。使用辅助角公式，可以得到 g(x,φ) 的上界为 5cos(x) + 1，进而得到总的上界为 6。右图展示了不同 φ 值下函数的图像变化，红色曲线随 φ 变化，绿色虚线表示理论上界 6。
让我们总结三个问题的解答结果。第一问中函数 f(x) = 5cos(x) - cos(5x) 在区间 [0, π/4] 的最大值为 6。第二问的存在性得到了证明。第三问中 b 的最小值也是 6。这些结果展现了深刻的内在联系：数值 6 在第一问和第三问中都出现，体现了三角函数的有界性和周期性。右图显示了函数的完整图像，红色虚线表示最大值 6，绿色虚线表示最小值 -6，展示了三角函数理论的统一性和美妙之处。