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函数是数学中描述两个变量之间对应关系的重要概念。函数的定义是：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应，那么就称f为从集合A到集合B的一个函数。在这个映射图中，我们可以看到集合A中的每个元素都对应集合B中唯一的元素，这体现了函数的本质特征。定义域是自变量x的取值范围，值域是函数值f(x)的取值范围，对应关系确保每个x值对应唯一的f(x)值。
函数有三种主要的表示方法。第一种是解析式表示法，用数学表达式表示函数关系，例如f(x)等于2x加1。第二种是列表法，用表格形式列出自变量和函数值的对应关系，这种方法适用于有限个对应值的情况。第三种是图像法，在坐标系中用图形表示函数，能够直观地显示函数的性质和变化趋势。这三种表示方法各有特点，在不同情况下选择合适的表示方法能够更好地理解和应用函数。
函数具有多种重要性质。首先是单调性，如果在某个区间内，当x1小于x2时，f(x1)小于f(x2)，则函数在该区间递增；反之则递减。其次是奇偶性，偶函数满足f负x等于f(x)，图像关于y轴对称；奇函数满足f负x等于负f(x)，图像关于原点对称。例如f(x)等于x的平方是偶函数。第三是周期性，如果存在正数T，使得f(x加T)等于f(x)，则T称为函数的周期。最后是有界性，如果存在正数M，使得f(x)的绝对值小于等于M，则函数有界。这些性质帮助我们更好地理解和分析函数的行为特征。
基本初等函数是数学中最重要的函数类型，包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数。幂函数的形式是f(x)等于x的n次方，当n大于0时函数递增，当n小于0时函数递减。指数函数的形式是f(x)等于a的x次方，其中a大于0且不等于1，当a大于1时函数递增，当a在0到1之间时函数递减。对数函数是指数函数的反函数，定义域为0到正无穷。三角函数包括正弦、余弦、正切函数，具有周期性质，在几何和物理中有广泛应用。这些基本函数构成了更复杂函数的基础。