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勾股定理是几何学中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的神奇关系。定理表述为：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。让我们通过经典的3-4-5直角三角形来验证这个定理：3²+4²=9+16=25=5²，完美地验证了勾股定理的正确性。
内弦图是证明勾股定理的一种巧妙几何方法。我们首先构造一个边长为斜边c的大正方形，然后在这个正方形的四个角上分别放置四个全等的直角三角形，每个三角形的两直角边分别为a和b。这样排列后，中心自然形成一个边长为b减a绝对值的小正方形。这种构造为我们提供了通过面积计算证明勾股定理的几何基础。
现在我们用内弦图来证明勾股定理。我们可以用两种方法计算大正方形的面积。方法一：大正方形的面积直接等于c的平方。方法二：大正方形可以分解为四个直角三角形和中间的小正方形，面积为四倍的二分之一ab加上b减a的平方。展开后得到2ab加b平方减2ab加a平方，化简得a平方加b平方。由于两种方法计算的是同一个面积，所以c平方等于a平方加b平方，这就证明了勾股定理。
外弦图提供了另一种直观证明勾股定理的几何方法。我们以直角三角形的三条边为边长，分别向外构造三个正方形。首先以直角边a为边长构造红色正方形，面积为a平方。然后以直角边b为边长构造绿色正方形，面积为b平方。最后以斜边c为边长构造黄色正方形，面积为c平方。这种构造形成了勾股定理最经典的几何图形，为我们通过图形分割和重组来证明a平方加b平方等于c平方奠定了基础。
外弦图的证明通过图形分割和重组来实现。我们可以将两个较小的正方形分割成若干部分，然后重新组合这些部分，验证它们能够完全填满大正方形。红色正方形的面积是a平方，绿色正方形的面积是b平方，它们的面积之和等于a平方加b平方。而黄色大正方形的面积是c平方。通过几何变换可以证明，两个小正方形的面积之和确实等于大正方形的面积，从而证明了勾股定理a平方加b平方等于c平方。