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微积分是数学中最重要的分支之一，它研究变化率和累积量。这门学科由牛顿和莱布尼茨在17世纪独立发展，为现代科学和工程奠定了基础。微积分的核心思想是通过极限来处理无穷小的变化。
微分学是微积分的第一个分支，它研究函数的瞬时变化率，也就是导数。导数的定义是当Δx趋近于零时，函数增量与自变量增量的比值的极限。几何上，导数表示函数图像在某点的切线斜率。当我们让割线上的两点越来越接近时，割线就逼近于切线。
积分学是微积分的第二个分支，它研究如何计算曲线下方的面积。积分的基本思想是将曲线下的区域分割成无数个小矩形，当矩形的宽度趋近于零时，所有矩形面积的和就趋近于精确的积分值。这个过程叫做黎曼和。积分是微分的逆运算，它们互为相反的过程。
微积分基本定理是微积分中最重要的定理，它建立了微分和积分之间的联系。定理表明，如果F是f的原函数，那么f在区间[a,b]上的定积分等于F(b)减去F(a)。这个定理告诉我们，计算定积分不需要求黎曼和的极限，只需要找到被积函数的原函数，然后计算端点处的函数值之差即可。
微积分在现实世界中有着广泛的应用。在物理学中，我们用导数来描述运动：位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数是加速度。在经济学中，微积分用于计算边际成本和寻找利润最大化点。在工程学中，微积分帮助我们进行优化设计。这个例子展示了一个物体的位移函数，通过求导我们可以得到它的速度函数。