resuelve el problema---**Question Extraction:** **Question Stem:** 4. Dos gemelos tienen 25 años de edad; entonces uno de ellos sale en un viaje por el espacio a una velocidad constante. Para el gemelo que viaja en la nave, cuando regresa, han transcurrido 6 años, mientras que su hermano que quedó en Tierra tiene entonces 43 años. ¿Cuál fue la velocidad de la nave?

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Tenemos el famoso problema de los gemelos de la relatividad especial. Dos gemelos comienzan con 25 años de edad. Uno de ellos viaja al espacio en una nave a velocidad constante. Para el gemelo viajero, transcurren 6 años durante su viaje. Sin embargo, cuando regresa a la Tierra, descubre que su hermano gemelo ahora tiene 43 años, es decir, han pasado 18 años en la Tierra. Necesitamos determinar cuál fue la velocidad de la nave espacial. La dilatación del tiempo es uno de los efectos más fascinantes de la relatividad especial de Einstein. Cuando un objeto se mueve a velocidades cercanas a la velocidad de la luz, el tiempo transcurre más lentamente para ese objeto comparado con un observador estacionario. La fórmula fundamental es delta t igual a gamma por delta t cero, donde gamma es el factor de Lorentz que siempre es mayor o igual a uno. Delta t cero representa el tiempo propio medido por el gemelo viajero, mientras que delta t es el tiempo observado por el gemelo que permanece en la Tierra. Ahora identificamos claramente todas las variables del problema. Las variables conocidas son: delta t cero igual a 6 años, que es el tiempo propio experimentado por el gemelo viajero; delta t igual a 18 años, que es el tiempo transcurrido en la Tierra calculado como 43 menos 25 años; y c, la velocidad de la luz. La variable desconocida es v, la velocidad de la nave espacial que debemos encontrar. Estas variables se relacionan a través de la fórmula de dilatación temporal que ya conocemos. Ahora calculamos el factor de Lorentz gamma usando los datos que tenemos. Aplicamos la fórmula gamma igual a delta t dividido por delta t cero. Sustituimos los valores: gamma igual a 18 años dividido por 6 años. Al realizar el cálculo obtenemos gamma igual a 3. Este resultado es físicamente válido porque gamma siempre debe ser mayor o igual a 1. El significado físico es que el tiempo se dilata por un factor de 3, es decir, el tiempo en la nave transcurre 3 veces más lento que en la Tierra. Ahora resolvemos algebraicamente para encontrar la velocidad. Partimos de gamma igual a 3, que es igual a 1 dividido por la raíz cuadrada de 1 menos v cuadrado sobre c cuadrado. Despejamos: un tercio igual a la raíz cuadrada de 1 menos v cuadrado sobre c cuadrado. Elevamos al cuadrado ambos lados: un noveno igual a 1 menos v cuadrado sobre c cuadrado. Despejamos v cuadrado sobre c cuadrado: es igual a 1 menos un noveno, que es ocho novenos. Por lo tanto, v igual a c por la raíz cuadrada de ocho novenos, que simplifica a dos raíz de dos tercios por c. El resultado numérico es aproximadamente 0.943 c, o sea, 94.3% de la velocidad de la luz.