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莱昂哈德·欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，1707年出生于瑞士巴塞尔。他在数学的各个分支都有杰出贡献，特别是在无穷级数理论方面的开创性工作。1734年，年仅27岁的欧拉解决了困扰数学界近半个世纪的巴塞尔问题，从此奠定了他在数学史上的地位。欧拉一生发表了超过800篇论文，被后人尊称为数学之王。
1644年，意大利数学家彼得·门戈利提出了一个看似简单的问题：求所有正整数倒数的平方和。这就是著名的巴塞尔问题。尽管问题的表述非常简洁，但它困扰了数学界整整90年。牛顿、莱布尼茨等数学巨匠都曾尝试解决这个问题，但都未能成功。
欧拉解决巴塞尔问题的关键在于他的天才洞察。他注意到正弦函数可以表示为无穷级数，同时也可以表示为无穷乘积。通过比较这两种表达式中x²项的系数，欧拉建立了代数级数与超越函数之间的联系，这是前人从未想到的方法。
欧拉的证明过程可以分为几个关键步骤。首先，他写出正弦函数的泰勒级数展开。然后，他观察到正弦函数的零点，并将其表示为无穷乘积形式。接下来，通过比较两种表达式中x²项的系数，他得到了一个关于无穷级数的等式。最终，欧拉得出了惊人的结果：所有正整数倒数的平方和等于π²除以6。
巴塞尔问题的解决具有划时代的意义。它不仅解决了一个困扰数学界近百年的难题，更重要的是开辟了全新的研究方向。欧拉的方法首次建立了离散级数与连续函数之间的深刻联系，这一思想后来发展成为解析数论的核心。同时，这个结果也展示了π这个神秘常数在数论中的重要地位，启发了无数后续研究。
巴塞尔问题是由瑞士数学家雅各布·伯努利在1689年提出的著名数学问题。问题要求计算所有正整数倒数平方的无穷级数和。这个看似简单的级数，其前几项分别是1、四分之一、九分之一、十六分之一等等。通过数值计算可以看出，级数确实收敛到某个值，大约是1.644934。然而，要找到这个级数的精确闭式表达式却极其困难，直到1734年，年仅27岁的欧拉才成功解决了这个困扰数学界近半个世纪的难题。
巴塞尔问题之所以困难，是因为传统的级数求和方法在这里完全失效。与几何级数、调和级数等已知级数不同，这个级数虽然收敛，但其和的表达式却无法通过常规方法得出。数值计算显示级数收敛到约1.6449，但要找到精确的闭式表达式需要全新的数学洞察。这个问题的解决需要将超越函数与代数方法巧妙结合，这正是欧拉天才之处的体现。
欧拉解决巴塞尔问题的核心思想是将sin(x)/x同时表示为两种不同的形式。首先，他利用泰勒级数将sin(x)/x展开为无穷级数。然后，他观察到sin(x)的零点分布规律，巧妙地将sin(x)/x表示为无穷乘积形式。这种将三角函数与代数多项式类比的思想是前所未有的创新。通过比较这两种表达式中相同次幂项的系数，欧拉建立了离散级数与连续函数之间的桥梁。
现在让我们详细看看欧拉的推导过程。首先，他将sin(x)/x按泰勒级数展开，得到1减去x²除以6，再加上高次项。接下来，他将无穷乘积形式展开，发现x²的系数是负的π²分之一乘以我们要求的级数和。通过比较两个表达式中x²项的系数，欧拉得到了关键等式：负六分之一等于负π²分之一乘以级数和。最终，他得出了震惊数学界的结果：所有正整数倒数平方的无穷级数和等于π²除以6。这个结果首次将离散的数论问题与连续的几何常数π联系起来。