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大家好，我是胡歌。今天我们来学习三角函数的基础概念。三角函数起源于古代对直角三角形的研究，它描述了角度与边长之间的关系。在直角三角形中，我们定义正弦函数为对边除以斜边，余弦函数为邻边除以斜边，正切函数为对边除以邻边。这些比值会随着角度的变化而变化，形成了我们熟悉的三角函数。
现在让我们将三角函数扩展到单位圆上。单位圆是半径为1，圆心在原点的圆。在单位圆中，任意角度θ对应圆上一个点。这个点的x坐标就是余弦值，y坐标就是正弦值。当点沿着单位圆运动时，我们可以清楚地看到正弦和余弦值是如何变化的。角度可以是正负值，函数也具有周期性，每转一圈就重复一次。
基于单位圆的理解，我们来绘制三角函数的图像。正弦和余弦函数都是周期函数，具有波浪形的图像。它们的周期都是2π，振幅都是1，取值范围在负1到正1之间。正弦函数是奇函数，关于原点对称，而余弦函数是偶函数，关于y轴对称。当单位圆上的点运动时，我们可以看到函数图像上对应点的变化，这帮助我们理解函数的周期性和连续性。
在理解函数图像的基础上，我们来推导重要的三角恒等式。最基本的是勾股恒等式：正弦平方加余弦平方等于1。这可以通过单位圆直观理解，因为单位圆上任意一点到原点的距离都是1。还有和差公式，它们描述了两个角的和或差的三角函数值。倍角公式则是和差公式的特殊情况。这些恒等式不仅在数学理论中重要，在物理和工程中也有广泛应用。
现在让我们通过几个典型例题来展示三角函数的实际应用。第一个例题是测量建筑物高度。假设我们站在距离建筑物30米的地方，测得仰角为60度，要求建筑物的高度。根据正切函数的定义，正切60度等于建筑物高度除以水平距离。因为正切60度等于根号3，所以建筑物高度等于30乘以根号3，约等于52米。这种方法在实际测量中非常实用，体现了三角函数在解决实际问题中的重要作用。