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列级数是无穷多个数相加的概念。我们用符号∑表示从第一项到无穷项的和。为了判断这个无穷和是否有意义，我们引入部分和的概念，即前n项的有限和。如果部分和序列有极限，我们就说级数收敛。例如几何级数1加二分之一加四分之一等等，其部分和趋向于2，所以这个级数收敛到2。
级数收敛的必要条件是通项必须趋于零。这个定理可以用反证法证明：假设级数收敛但通项不趋于零，那么存在正数ε使得通项的绝对值大于等于ε。这样部分和就会无限增大，与收敛假设矛盾。例如级数二分之一加二分之一加二分之一等等，由于通项不趋于零，所以必然发散。图中红色点显示部分和不断增大，蓝色点显示通项始终为二分之一。
正项级数有三种主要的判别方法。比较判别法通过与已知收敛或发散的级数比较大小来判断。比值判别法计算相邻两项的比值极限，小于1收敛，大于1发散。根值判别法计算通项的n次根的极限，判断标准相同。例如级数1除以n的平方收敛，因为可以与p级数比较。级数1除以2的n次方收敛，因为比值极限是二分之一小于1。图中蓝色曲线显示n平方分之一的衰减，红色曲线显示2的n次方分之一的指数衰减。
交错级数是项正负交替的级数。莱布尼茨判别法给出了交错级数收敛的充分条件：通项绝对值单调递减且趋于零。经典例子是交错调和级数，1减二分之一加三分之一减四分之一等等，满足莱布尼茨条件所以收敛到自然对数2。图中蓝色点显示部分和的振荡收敛过程，红色点显示交错的通项，绿色虚线是收敛值。这种收敛称为条件收敛，因为对应的正项级数发散。
绝对收敛是指级数各项绝对值组成的级数收敛。绝对收敛必定收敛，这可以通过比较判别法证明。例如级数sin n除以n的平方，由于sin n的绝对值小于等于1，所以原级数的绝对值小于等于1除以n的平方，而后者收敛，因此原级数绝对收敛。相比之下，交错调和级数只是条件收敛。绝对收敛级数有很好的性质，比如任意重排仍收敛到同一值，而条件收敛级数通过重排可以收敛到任意值。图中蓝色点显示原级数项，红色点显示绝对值，绿色曲线是比较的收敛级数。