视频字幕
我们来分析这道关于函数单调性和不等式证明的题目。给定函数 f(x) = a(e^x + a) - x，可以展开为 f(x) = ae^x + a² - x。这个函数包含指数项、常数项和线性项，参数 a 的取值将显著影响函数的性质。题目要求我们讨论函数的单调性，并在 a 大于 0 时证明一个重要的不等式。
现在我们通过求导数来分析函数的单调性。对函数 f(x) = ae^x + a² - x 求导，得到 f'(x) = ae^x - 1。接下来分情况讨论：当 a 小于等于 0 时，由于 e^x 恒为正，所以 ae^x 小于等于 0，因此 f'(x) = ae^x - 1 恒小于 0，函数在实数轴上单调递减。当 a 大于 0 时，令 f'(x) = 0，得到 ae^x = 1，解得 x = ln(1/a)。这是函数的驻点，我们用数轴来分析导数的符号变化。
现在我们总结函数 f(x) 的完整单调性结论。当参数 a 小于等于 0 时，导数 f'(x) 在整个实数轴上恒小于 0，因此函数在负无穷到正无穷上单调递减。当参数 a 大于 0 时，函数的单调性发生变化：在负无穷到 ln(1/a) 的区间上单调递减，在 ln(1/a) 到正无穷的区间上单调递增。这意味着当 a 大于 0 时，函数在 x = ln(1/a) 处取得最小值。
现在我们来寻找函数的最小值点，这是证明不等式的关键步骤。当 a 大于 0 时，根据前面的单调性分析，函数在 x = ln(1/a) 处取得最小值。让我们计算这个最小值。将 x = ln(1/a) 代入原函数，得到 f(ln(1/a)) = a(e^(ln(1/a)) + a) - ln(1/a)。由于 e^(ln(1/a)) = 1/a，所以表达式变为 a(1/a + a) - ln(1/a)，进一步化简得到 1 + a² + ln a。这个最小值表达式将是我们证明不等式的核心。
现在我们将不等式证明转化为辅助函数的最值问题。要证明 f(x) > 2ln a + 3/2，由于函数的最小值在 x = ln(1/a) 处取得，我们只需要证明这个最小值大于 2ln a + 3/2。将前面求得的最小值 1 + a² + ln a 代入不等式，得到 1 + a² + ln a > 2ln a + 3/2。通过移项整理，这个不等式等价于 a² - ln a - 1/2 > 0。因此，我们构造辅助函数 g(a) = a² - ln a - 1/2，我们的目标就是证明当 a 大于 0 时，g(a) 恒大于 0。