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我们来看这样一个问题：已知一元二次方程ax²+bx+c=0，其中a不等于0，并且这个方程有一个根为负1。我们需要找出系数a、b、c之间的关系。首先让我们明确一元二次方程的标准形式，以及题目给出的条件。
在解决这个问题之前，我们先回顾一下方程根的定义。如果x等于x₀是方程ax²+bx+c=0的根，那么将x₀代入方程后，等式一定成立，即ax₀²+bx₀+c=0。例如，对于方程2x²-5x+3=0，如果x=1是它的根，那么将x=1代入得到2×1²-5×1+3=2-5+3=0，等式成立，所以x=1确实是这个方程的根。
现在我们将已知根x等于负1代入方程ax²+bx+c=0。将x等于负1代入得到：a乘以负1的平方，加上b乘以负1，加上c等于0。化简这个式子：负1的平方等于1，所以得到a乘以1加上b乘以负1加上c等于0，即a减b加c等于0。这就是我们要求的a、b、c之间的关系式。
现在我们来整理得到的关系式。从a减b加c等于0这个基本关系出发，我们可以得到多种等价的表达形式。移项可得a加c等于b，或者c等于b减a，或者a等于b减c，还可以写成b等于a加c。这些不同的形式在数学上是完全等价的，都表示了系数a、b、c之间的约束关系。
最后我们通过具体例子来验证我们的结论。对于方程x²减2x加1等于0，系数a等于1，b等于负2，c等于1。检验：1减负2加1等于4，不等于0，所以x等于负1不是这个方程的根。再看方程x²加2x加1等于0，系数a等于1，b等于2，c等于1。检验：1减2加1等于0，满足关系式，所以x等于负1是这个方程的根。验证：负1的平方加2乘负1加1等于1减2加1等于0，确实成立。因此，我们的结论是：当一元二次方程有根负1时，系数满足a减b加c等于0。