第二类换元法是积分学中的重要方法，它通过设置 x 等于某个参数 t 的函数来简化积分计算。与第一类换元法不同，第二类换元法是反向代入，特别适用于处理包含根式的复杂被积函数。当遇到形如根号下 a 平方减 x 平方，或根号下 a 平方加 x 平方的表达式时，第二类换元法往往能够通过三角换元等技巧，将复杂的积分转化为更容易计算的形式。
现在我们来严格推导第二类换元法的数学公式。设 x 等于 φ(t)，其中 φ(t) 是关于 t 的函数，那么 dx 就等于 φ'(t) 乘以 dt。因此，原积分 ∫f(x)dx 就可以转化为 ∫f(φ(t))φ'(t)dt。这个变换要求 φ(t) 必须在积分区间内单调且可导，并且 φ'(t) 不等于零。对于定积分，积分区间也需要相应变换，如果原积分区间是从 a 到 b，那么新的积分区间就是从 α 到 β，其中 a 等于 φ(α)，b 等于 φ(β)。右图展示了这种变换的几何意义，可以看到 t 和 x 之间的对应关系。
三角换元法是第二类换元法中最重要的技巧，专门用于处理含有根式的积分。主要有三种基本类型：第一种是根号下a平方减x平方的形式，我们设x等于a正弦θ，这样根式就变成a余弦θ。第二种是根号下a平方加x平方，设x等于a正切θ，根式变成a正割θ。第三种是根号下x平方减a平方，设x等于a正割θ，根式变成a正切θ。这些换元的关键在于利用三角恒等式，比如正弦平方加余弦平方等于1，来消除根号。右图展示了单位圆上的几何关系，帮助我们理解这些三角换元的几何意义。
现在我们通过一个具体例子来演示三角换元的完整过程。求积分∫√(4-x²)dx。首先识别这是√(a²-x²)的形式，其中a等于2，所以我们设x等于2sinθ，dx等于2cosθdθ。代入后，√(4-x²)变成√(4-4sin²θ)，利用三角恒等式得到2cosθ。原积分变成4∫cos²θdθ。利用二倍角公式cos²θ等于(1+cos2θ)/2，积分结果是2θ+sin2θ+C。最后回代，θ等于arcsin(x/2)，sin2θ等于2sinθcosθ等于x√(4-x²)/2，所以最终结果是2arcsin(x/2)+x√(4-x²)/2+C。右图展示了这个积分的几何意义，实际上是求半圆的面积。
除了三角换元，第二类换元法还包括其他几种重要的换元技巧。倒数换元设x等于1/t，适用于分母次数高于分子的有理函数积分。指数换元设x等于e的t次方，特别适用于含有指数函数和对数函数的积分。双曲换元使用双曲函数，如设x等于a双曲正弦t，可以作为某些根式积分的替代方法。选择合适的换元方法需要观察被积函数的结构特点，选择能够最大程度简化积分的换元方式，同时确保换元函数在积分区间内单调且可导。右图展示了这些不同换元方法对应的函数图像变换关系。