视频字幕
第二类换元法是积分学中的重要方法。它的基本思想是设x等于φ(t)，将积分变量从x换为t。这与第一类换元法正好相反：第一类是设u等于φ(x)，而第二类是设x等于φ(t)。第二类换元法特别适用于被积函数含有根式、三角函数形式复杂或分母次数过高的情况。核心公式是：对f(x)的积分等于对f(φ(t))乘以φ'(t)对t的积分。
三角换元法是第二类换元法的重要应用。根据根式的不同形式，我们有三种标准的三角换元方式。对于根号下a平方减x平方，我们设x等于a乘以sin θ；对于根号下a平方加x平方，设x等于a乘以tan θ；对于根号下x平方减a平方，设x等于a乘以sec θ。这些换元的核心思想是利用三角恒等式来消除根号。比如利用sin平方θ加cos平方θ等于1，1加tan平方θ等于sec平方θ，以及sec平方θ减1等于tan平方θ这些基本恒等式。
现在我们通过一个具体例题来演示三角换元的完整过程。计算积分：根号下4减x平方的积分。首先观察被积函数，发现它符合根号下a平方减x平方的形式，其中a等于2。因此我们设x等于2sin θ，那么dx等于2cos θ dθ。将换元代入原积分，得到根号下4减4sin平方θ乘以2cos θ的积分。利用三角恒等式，根号下4减4sin平方θ等于根号下4cos平方θ，即2cos θ。所以积分变为4倍cos平方θ的积分。利用二倍角公式，最终得到2θ加sin2θ加常数C。最后回代，将θ用x表示，得到最终结果。
根式换元法是处理含有根式的积分的有效方法。基本策略是：对于含有n次根号f(x)的积分，设t等于n次根号f(x)进行换元。我们来看一个具体例子：计算x乘以根号下x减1的积分。设t等于根号下x减1，那么x等于t平方加1，dx等于2t dt。将这些代入原积分，得到t平方加1乘以t乘以2t对t的积分。化简后得到2倍的t的4次方加t平方的积分。积分后得到2倍的t的5次方除以5加t的3次方除以3再加常数C。最后回代t等于根号下x减1，得到最终结果。
倒数换元法是处理分母次数远高于分子的积分的有效方法。当被积函数的分母次数远高于分子时，我们可以设x等于1除以t进行换元。我们来看一个例子：计算1除以x平方乘以根号下x平方加1的积分。设x等于1除以t，那么dx等于负1除以t平方dt。将这些代入原积分，经过化简，分母中的根式可以提取出来，最终积分简化为负的t除以根号下1加t平方的积分。这个积分的结果是负根号下1加t平方加常数C。最后回代x等于1除以t，得到最终结果。