Crea un video con la solución del siguiente problema: Dos varillas delgadas idénticas con una longitud 2a tienen cargas iguales +Q uniformemente distribuidas a lo largo de sus longitudes. Las varillas yacen a lo largo del eje x, con sus centros separados por una distancia b > 2a (figura P23.84). Demuestre que la magnitud de la fuerza ejercida por la varilla izquierda sobre la derecha está dada por
F= (Ke Q*Q/(2*a*a))*ln( b*b/(b*b-4*a*a))(Observa que la figura es la figura P23.84 de la novena edición del libro de texto Física para ciencias e ingeniería, volumen 2 de Serway y Jewett y el problema es el problema 84 del capítulo 23 del mismo texto)
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Vamos a resolver un problema de electrostática que involucra dos varillas cargadas. Tenemos dos varillas delgadas idénticas, cada una con longitud 2a y carga positiva Q uniformemente distribuida. Las varillas están colocadas a lo largo del eje x, con sus centros separados por una distancia b, donde b es mayor que 2a. La densidad lineal de carga de cada varilla es lambda igual a Q dividido por 2a. Nuestro objetivo es encontrar la fuerza que ejerce la varilla izquierda sobre la varilla derecha.
Ahora establecemos la configuración matemática del problema. Colocamos el sistema de coordenadas con la varilla izquierda centrada en x igual a menos b sobre 2, y la varilla derecha centrada en x igual a más b sobre 2. Para calcular la fuerza entre las varillas, aplicamos la ley de Coulomb entre elementos diferenciales de carga. La fuerza diferencial entre dos elementos de carga dq1 y dq2 está dada por dF igual a ke por dq1 por dq2 dividido por r al cuadrado. Como las varillas están alineadas en el eje x, la distancia r entre elementos es simplemente x2 menos x1.
Ahora definimos los elementos diferenciales de carga. En la varilla izquierda, un elemento de longitud dx1 contiene una carga dq1 igual a lambda por dx1. Similarmente, en la varilla derecha, un elemento dx2 contiene carga dq2 igual a lambda por dx2, donde lambda es la densidad lineal de carga Q dividido por 2a. Los límites de integración para la varilla izquierda van desde menos b sobre 2 menos a hasta menos b sobre 2 más a. Para la varilla derecha, van desde b sobre 2 menos a hasta b sobre 2 más a. La distancia entre cualquier par de elementos es r igual a x2 menos x1.
Ahora planteamos la integración para calcular la fuerza total. La fuerza diferencial entre elementos de carga es dF igual a ke por dq1 por dq2 dividido por la distancia al cuadrado. Sustituyendo las expresiones para dq1 y dq2, obtenemos dF igual a ke lambda al cuadrado por dx1 por dx2 dividido por x2 menos x1 al cuadrado. La fuerza total se obtiene integrando sobre ambas varillas, resultando en una integral doble. Factorizamos las constantes y obtenemos F igual a ke lambda al cuadrado por la integral doble de uno sobre x2 menos x1 al cuadrado. Primero integraremos respecto a x2, manteniendo x1 constante, y luego integraremos el resultado respecto a x1.
Ahora resolvemos las integrales paso a paso. Primero, la integral respecto a x2 de uno sobre x2 menos x1 al cuadrado es menos uno sobre x2 menos x1. Evaluando los límites de integración, obtenemos menos uno sobre b sobre 2 más a menos x1, más uno sobre b sobre 2 menos a menos x1. Simplificando esta expresión, llegamos a 2a dividido por x1 menos b sobre 2 al cuadrado menos a al cuadrado. Ahora integramos respecto a x1. Hacemos la sustitución u igual a x1 menos b sobre 2, lo que transforma los límites de integración. La integral resultante es una integral logarítmica estándar. Finalmente, sustituyendo lambda igual a Q sobre 2a y evaluando todos los límites, obtenemos el resultado final: F igual a ke Q al cuadrado sobre 2a al cuadrado por el logaritmo natural de b al cuadrado sobre b al cuadrado menos 4a al cuadrado. Este es exactamente el resultado que queríamos demostrar.