视频字幕
勾股定理是几何学中最著名的定理之一。它描述了直角三角形三边之间的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方。用数学公式表示就是a²+b²=c²。从几何角度看，这意味着以直角边为边长的两个正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形面积。接下来我们将通过拼图法来证明这个定理。
现在我们构建拼图证明的初始图形。以经典的3-4-5直角三角形为例，我们创建一个7×7的正方形框架。在框架中央放置一个边长为5的正方形，代表c²，面积为25。然后在四周放置四个完全相同的直角三角形，每个三角形的面积为二分之一ab，即6。这样整个布局完全填满了7×7的框架，为接下来的拼图变换做好准备。
现在我们详细分析初始布局的面积构成。外框是7×7的正方形，总面积为49。中央的c²方块边长为5，面积为25。四个相同的直角三角形，每个面积为二分之一乘以3乘以4等于6，四个三角形总面积为24。我们可以验证：49等于25加24。这个面积守恒原理是拼图证明的核心：在整个变换过程中，总面积必须保持不变。
现在开始关键的拼图重新排列过程。我们保持在同样的7×7框架内，首先移除中央的c²方块。然后将四个三角形重新排列到新的位置，但仍然保持在框架内。接下来，在空出的中央区域放置两个新的正方形：边长为3的a²方块，面积为9；边长为4的b²方块，面积为16。整个变换过程是连续的，确保几何图形的完整性和面积的守恒。
现在我们验证最终布局来完成证明。变换后的布局仍然在同样的7×7框架内，总面积依然是49。四个三角形的总面积仍然是24。但现在中央区域由两个正方形组成：a²方块面积为9，b²方块面积为16。我们可以验证：49等于9加16加24。因此a²加b²等于9加16等于25，这正好等于c²。通过面积守恒原理，我们成功证明了勾股定理：a²加b²等于c²。