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完全平方公式是代数中的重要公式。它有两种基本形式：和的平方公式 (a+b)² = a² + 2ab + b²，以及差的平方公式 (a-b)² = a² - 2ab + b²。让我们通过代数展开来理解第一个公式。(a+b)² 等于 (a+b) 乘以 (a+b)，展开后得到 a² + ab + ba + b²，合并同类项得到 a² + 2ab + b²。注意这里有三项：a的平方项、2倍的ab项、以及b的平方项。
现在我们用几何图形来理解完全平方公式。我们构建一个边长为 (a+b) 的大正方形。通过在距离左边a个单位和距离顶部a个单位的位置画分割线，我们可以将这个大正方形分成四个部分：左上角是边长为a的正方形，面积为a²；右下角是边长为b的正方形，面积为b²；右上角和左下角是两个矩形，每个面积都是ab。因此，大正方形的总面积 (a+b)² 就等于 a² + ab + ab + b²，也就是 a² + 2ab + b²。
现在让我们通过动态演示来深入理解这个分割过程。首先我们有一个边长为(a+b)的大正方形。接下来我们逐步绘制分割线：先画垂直分割线，将正方形分为左右两部分；然后画水平分割线，形成四个区域。现在我们依次高亮每个区域：左上角蓝色区域面积为a²，对应公式中的a²项；右上角和左下角橙色区域各自面积为ab，两个加起来就是2ab项；右下角绿色区域面积为b²，对应公式中的b²项。这样我们就直观地验证了完全平方公式。
现在让我们观察当参数a和b发生变化时，完全平方公式是如何保持成立的。我们从a等于1，b等于1开始。可以看到左边的公式显示当前的数值计算，右边的几何图形也相应地调整大小和标注。现在让我们让a从1变化到3，观察正方形各部分如何变化。接下来让b从1变化到2，注意各个区域面积的变化。无论参数如何变化，等式两边始终相等，这验证了完全平方公式的普遍性。
现在我们来理解差平方公式 (a-b)² = a² - 2ab + b²的几何意义。我们从一个边长为a的大正方形开始，面积为a²。要得到边长为(a-b)的正方形，我们需要从大正方形中减去多余的部分。首先减去右上角一个宽为b、高为(a-b)的矩形，面积为b(a-b)。然后减去左下角一个宽为(a-b)、高为b的矩形，面积为(a-b)b。最后还要减去右下角一个边长为b的小正方形，面积为b²。但是这样我们减去了两次这个小正方形，所以要加回一个b²。最终剩下的绿色部分就是边长为(a-b)的正方形，面积为(a-b)²。这样我们就几何地验证了差平方公式。