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导数的几何意义是函数在某点处切线的斜率。对于函数y等于x的平方，我们可以看到当x为负值时，导数为负，切线向下倾斜；当x为正值时，导数为正，切线向上倾斜；在x等于0处，导数为0，切线水平。这个几何直观帮助我们理解导数与函数变化趋势的关系。
当切线斜率为正时，函数在该点附近呈现上升趋势。我们以函数y等于x的三次方减去3x为例，观察不同位置的局部行为。通过放大镜效果可以看到，在很小的区间内，函数近似为直线，而切线斜率决定了这条直线的倾斜方向。当导数大于0时，函数局部单调递增；当导数小于0时，函数局部单调递减。
函数单调递增有严格的数学定义：对于定义域内任意两点，如果x1小于x2，那么必须有f(x1)小于f(x2)。这个定义要求在整个定义域上都成立。我们通过图像来理解这个概念：选择函数上的两点A和B，当A点的横坐标小于B点时，A点的纵坐标也必须小于B点，这样函数才是单调递增的。
拉格朗日中值定理是连接导数与函数增减性的重要桥梁。定理表述为：若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则存在某点ξ，使得该点的导数值等于两端点连线的斜率。几何上，这意味着弦AB的斜率等于曲线上某点C处切线的斜率。通过移动点C，我们可以找到这个特殊的ξ点，它是证明导数与单调性关系的关键。
现在我们运用中值定理来严格证明：当导数大于0时，原函数单调递增。证明过程如下：设f'(x)大于0，对任意x1小于x2，由拉格朗日中值定理，存在ξ属于开区间(x1,x2)，使得f'(ξ)等于f(x2)减f(x1)除以x2减x1。整理得f(x2)减f(x1)等于f'(ξ)乘以(x2减x1)。由于f'(ξ)大于0且x2减x1大于0，所以f(x2)减f(x1)大于0，即f(x2)大于f(x1)。因此函数f(x)单调递增。