站在高一学生的角度解答，用中文讲解---**Question 13** **Question Stem:** A wooden wedge of mass M and inclination angle θ remains at rest on a horizontal surface. When a wooden block of mass m is placed on the inclined surface of the wedge, it slides down uniformly. If a force F, which makes an angle α with the inclined surface of the wooden wedge, pulls the wooden block to slide up uniformly along the inclined surface, as shown in the figure, then: **(1)** When α is how much, the pulling force F has a minimum value? Find this minimum value. **(2)** When α=0, what is the friction force exerted by the wooden wedge on the horizontal surface? **Chart/Diagram Description:** * **Type:** A physics diagram illustrating a block on an inclined plane. * **Main Elements:** * **Wedge (Inclined Plane):** A large right-angled triangular block is shown resting on a horizontal flat surface. It is labeled with mass "M". The angle of inclination of its sloped surface with the horizontal ground is denoted by "θ". * **Block:** A smaller rectangular block, labeled with mass "m", is placed on the inclined surface of the wedge. * **Force F:** An arrow originates from the block "m" and points upwards and slightly away from the inclined surface. This arrow represents a force, labeled "F". * **Angle α:** A dashed line extends along the inclined surface from the position of block "m". The angle between this dashed line (representing the direction parallel to the incline) and the force vector "F" is labeled "α". * **Horizontal Surface:** The flat ground beneath the wedge.

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我们来分析一个斜面上的力学问题。有一个质量为M、倾角为θ的楔形体放在水平面上。当质量为m的木块放在斜面上时，它会匀速下滑。现在用一个与斜面成α角的拉力F拉动木块，使其匀速上滑。我们需要分析这个力学系统。 首先分析木块匀速下滑的情况。木块受到重力mg、垂直于斜面的支持力N和沿斜面向上的摩擦力f。由于是匀速运动，合外力为零。沿斜面方向：重力分量mg sin θ等于摩擦力f。垂直斜面方向：支持力N等于重力分量mg cos θ。由摩擦力公式f等于μN，可得摩擦系数μ等于tan θ。 现在分析拉力作用下木块匀速上滑的情况。拉力F可以分解为：沿斜面向上的分量F cos α和垂直斜面向上的分量F sin α。此时摩擦力f'方向沿斜面向下。沿斜面方向的平衡条件是：F cos α等于重力沿斜面的分量mg sin θ加上摩擦力f'。垂直斜面方向：支持力N'加上拉力垂直分量F sin α等于重力垂直分量mg cos θ。 现在求解拉力F的表达式。将摩擦系数μ等于tan θ代入平衡方程，经过化简可得：F等于2mg sin θ除以括号cos α加上sin α tan θ括号。对分母进行三角恒等变换，可以写成cos括号α减θ括号除以cos θ的形式。因此F等于2mg sin θ cos θ除以cos括号α减θ括号。当α等于θ时，分母cos括号α减θ括号达到最大值1，此时F取得最小值，等于mg sin 2θ。 最后分析当α等于0时的情况。此时拉力F沿斜面方向，其大小为2mg tan θ。由于楔形体保持静止，水平地面对楔形体的摩擦力必须平衡拉力F的水平分量，因此地面摩擦力大小为2mg tan θ。总结答案：第一问，当α等于θ时，拉力F有最小值mg sin 2θ；第二问，当α等于0时，地面对楔形体的摩擦力为2mg tan θ。 现在分析木块匀速下滑的初始条件。木块在斜面上受到三个力：竖直向下的重力mg，垂直于斜面向上的支持力N₁，以及沿斜面向上的摩擦力f₁。由于木块匀速下滑，说明合外力为零。沿斜面方向，重力的分量mg sin θ等于摩擦力f₁。垂直斜面方向，支持力N₁等于重力的分量mg cos θ。根据摩擦力公式f₁等于μN₁，可以得出动摩擦系数μ等于tan θ。这个结果为后续分析提供了重要的基础参数。 现在分析拉力F作用下木块匀速上滑的受力情况。拉力F与斜面成α角，可以分解为两个分量：沿斜面向上的分量F cos α和垂直斜面向上的分量F sin α。此时摩擦力f₂的方向沿斜面向下，阻碍木块上滑。在沿斜面方向，拉力分量F cos α必须克服重力分量mg sin θ和摩擦力f₂。在垂直斜面方向，支持力N₂加上拉力垂直分量F sin α等于重力垂直分量mg cos θ。摩擦力f₂等于μ乘以支持力N₂，即μ乘以括号mg cos θ减去F sin α括号。 现在求解拉力F的最小值。将摩擦系数μ等于tan θ代入平衡方程，经过整理可得：F乘以括号cos α加上sin α tan θ括号等于2mg sin θ。因此F等于2mg sin θ除以括号cos α加上sin α tan θ括号。对分母进行三角恒等变换，可以写成cos括号α减θ括号除以cos θ的形式。所以F等于2mg sin θ cos θ除以cos括号α减θ括号。当α等于θ时，分母cos括号α减θ括号达到最大值1，此时F取得最小值，等于mg sin 2θ。从函数图像可以看出，当α等于θ时，拉力F确实达到最小值。 最后分析当α等于0时的情况。此时拉力F沿斜面方向，其大小为2mg tan θ。我们需要分析整个系统的受力情况。拉力F可以分解为水平分量F cos θ和竖直分量F sin θ。由于楔形体在水平方向保持静止，地面对楔形体的摩擦力必须平衡拉力的水平分量。因此地面摩擦力的大小为F cos θ，即2mg tan θ乘以cos θ，等于2mg sin θ，方向向左。总结最终答案：第一问，当α等于θ时，拉力F有最小值mg sin 2θ；第二问，当α等于0时，地面对楔形体的摩擦力为2mg sin θ。