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几何解题是数学学习的重要组成部分。今天我们将学习波利亚解题四步法在几何问题中的应用。这四个步骤分别是:理解题目、拟订方案、执行方案和回顾检验。让我们通过一个具体的三角形问题来演示这个完整的解题流程。
理解题目是解题的第一步,也是最关键的一步。我们需要明确几个问题:未知量是什么、已知数据有哪些、给定的条件是什么。在这个三角形问题中,未知量是边c,已知数据是a等于5、b等于7、角C等于60度。通过画图和符号标记,我们可以清楚地看到这是一个已知两边和夹角求第三边的问题。
拟订方案阶段需要我们寻找已知与未知之间的联系。对于这个三角形问题,我们需要回忆相似的题目类型。这是一个已知两边和夹角求第三边的问题,我们可以联想到余弦定理。余弦定理告诉我们:c的平方等于a的平方加b的平方减去2ab乘以cos C。这正好适用于我们的问题情况。
数形结合是几何解题的重要思想。在计算过程中,我们将已知数值代入余弦定理公式。首先代入a等于5、b等于7、角C等于60度,cos60度等于二分之一。计算得到c的平方等于39,因此c等于根号39,约等于6.24。右侧的几何图形直观地展示了这些数量关系,帮助我们理解抽象的代数计算。
执行解题方案时,我们需要严格按照步骤进行,并检查每一步的正确性。首先确定使用余弦定理,然后代入已知数值,计算cos60度等于二分之一,进行数值运算得到c的平方等于39,最后求平方根得到c约等于6.24。每完成一步都要验证其正确性,最终还要检查结果是否满足三角形不等式,确保答案的合理性。