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我们来分析函数f(x)等于括号x减a乘以ln x减去x乘以ln a加上b的性质。首先确定定义域为x大于0。对函数求导得到f'(x)等于ln x减去ln a，即ln括号x除以a。令导数为0得到临界点x等于a。当x小于a时导数小于0函数递减，当x大于a时导数大于0函数递增。因此x等于a是函数的最小值点。要使函数有两个零点，必须满足f(a)小于0的条件。
现在我们分析零点条件。由于x1和x2是函数的两个零点，我们有f(x1)等于0和f(x2)等于0。将函数表达式代入得到两个方程：括号x1减a乘以ln x1减去x1乘以ln a加上b等于0，以及括号x2减a乘以ln x2减去x2乘以ln a加上b等于0。将这两个方程相减，可以消去参数b，得到一个重要的关系式。经过整理和化简，我们得到关键关系：x1乘以ln x1减去x2乘以ln x2等于括号x1减x2乘以ln a加上a乘以ln括号x1除以x2。这个关系式将在后续证明中发挥重要作用。
现在我们构造证明所需的关键不等式。目标是证明x1加x2加2倍根号x1x2大于4a。我们可以将左边写成括号根号x1加根号x2的平方大于4a。为了利用零点条件，我们引入辅助函数g(t)等于t乘以ln t。计算二阶导数得到g''(t)等于1除以t大于0，说明g(t)是凸函数。根据Jensen不等式，对于凸函数有g括号x1加x2除以2小于g(x1)加g(x2)除以2。展开这个不等式，我们得到一个重要的关系式，它将帮助我们连接零点条件和目标不等式。
现在我们应用对数函数的凹性质。由于ln函数是凹函数，根据Jensen不等式，我们有ln括号x1加x2除以2大于ln x1加ln x2除以2。右边可以写成ln根号x1x2。因此得到ln括号x1加x2除以2大于ln根号x1x2。对不等式两边取指数，得到x1加x2除以2大于根号x1x2，即算术平均大于几何平均。两边同时乘以2，得到x1加x2大于2倍根号x1x2。这个结果结合前面的Jensen不等式应用，为我们连接零点条件和目标不等式提供了重要的桥梁。
现在我们完成最终证明。让我们总结整个证明思路：首先利用零点条件f(x1)等于f(x2)等于0，得到关键关系式。然后引入辅助函数g(t)等于t乘以ln t，利用其凸性质应用Jensen不等式。接着利用对数函数的凹性质，得到算术平均大于几何平均的不等式。通过巧妙的代数变换和不等式链接，我们最终证明了x1加x2加2倍根号x1x2大于4a。整个证明过程体现了函数性质、不等式理论和代数技巧的完美结合。证明完成！