题目： 如图，四边形ABCO是平行四边形，OA=2，AB=6，点C在x轴的负半轴上，将▱ABCO绕点A逆时针旋转得到▱ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点D在反比例函数y= \( \frac{k}{x} \) (x＜0)的图象上，则k的值为__． 各位同学，今天我们来一起解决这道关于几何图形旋转和反比例函数的题目。首先，我们要把题目中的条件一个个理清楚，慢慢来，基础弱的同学也别着急，跟着老师的思路走。 首先看题目里说 “四边形 ABCO 是平行四边形”，那我们得回忆一下平行四边形的性质。平行四边形的对边相等且平行，所以 OA 应该等于 BC，AB 等于 OC，而且 OA 平行于 BC，AB 平行于 OC。题目里给出 OA=2，AB=6，那我们就能知道 BC=2，OC=6 啦。 接下来，“点 C 在 x 轴的负半轴上”，这告诉我们点 C 的位置特点，它的纵坐标是 0，横坐标是负数。我们可以先简单画个坐标系，x 轴正方向向右，负方向向左，y 轴正方向向上，负方向向下，这样方便我们理解各点的位置。 然后是 “将四边形 ABCO 绕点 A 逆时针旋转得到四边形 ADEF”，旋转是这里的一个重点知识点。旋转有什么性质呢？旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。所以，AD 应该等于 OA，因为 AD 和 OA 是对应边，OA=2，那 AD 也等于 2。AF 等于 AB，AB=6，所以 AF=6。还有，角 OAD 和角 BAF 都是旋转角，它们是相等的。 题目里还说 “AD 经过点 O”，那点 O 就在 AD 这条线上。因为 AD=2，OA=2，所以 OA=AD，这说明点 O 是 AD 的中点吗？对的，因为 OA 和 AD 都是从点 A 出发，长度相等，而且在同一条直线上，所以 O 是 AD 中点，那 OD 的长度也是 2。 “点 F 恰好落在 x 轴的正半轴上”，x 轴正半轴上的点纵坐标是 0，横坐标是正数。我们可以设一些点的坐标来帮助解题。比如，我们设点 A 的坐标为（x，y），不过可能更简单的是先确定原点 O 的坐标，原点 O 就是（0，0）嘛。因为 OA=2，我们可以假设点 A 在某个位置，比如设 A 的坐标为（a，b），那么 OA 的长度就是√（a² + b²）=2，所以 a² + b²=4。 因为 ABCO 是平行四边形，AB 平行于 OC，OC 在 x 轴上（因为点 C 在 x 轴负半轴，点 O 在原点，所以 OC 在 x 轴上），所以 AB 也是水平的，即 AB 平行于 x 轴，那么点 A 和点 B 的纵坐标相同。AB 的长度是 6，所以如果点 A 的坐标是（a，b），那么点 B 的坐标就是（a+6，b），因为 AB 平行于 x 轴且长度为 6。 又因为 OC=AB=6，点 C 在 x 轴负半轴，所以点 C 的坐标是（-6，0），因为从原点 O 向左 6 个单位就是点 C 啦。 接下来看旋转后的四边形 ADEF，点 D 是点 O 旋转后的对应点，点 F 是点 B 旋转后的对应点。因为 AD 经过点 O，且 AD=OA=2，OA=2，所以 AD=2，而点 O 在 AD 上，所以向量 AO 和向量 AD 的方向是相反的吗？因为旋转是逆时针的，点 A 是旋转中心，原来的点 O 旋转后到点 D，AD 经过 O，所以 A、O、D 三点共线，且 AO=2，AD=2，所以 OD=AO + AD 吗？不对，应该是 A、O、D 在一条直线上，OA=2，AD=2，所以如果点 O 在 A 和 D 之间的话，那么 AD=AO + OD，所以 OD=0？不对，应该是点 D 在 AO 的延长线上，因为是逆时针旋转，所以从 OA 旋转到 AD，AD 经过 O，所以 A、D、O 三点共线，且 AD=OA=2，所以 AO=AD=2，那么 OD=AO + AD=4？不对，可能更简单的是用坐标来算。 设点 A 的坐标为（m，n），因为 OA=2，所以 m² + n²=4。因为 ABCO 是平行四边形，向量 OA 应该等于向量 CB，点 C 是（-6，0），点 B 是（p，q），所以向量 CB 是（p + 6，q - 0）=（p + 6，q），向量 OA 是（m，n），所以 p + 6 = m，q = n，所以点 B 的坐标是（m - 6，n）？刚才可能设错了，平行四边形对边相等且平行，向量 AB 应该等于向量 OC，向量 OC 是（-6，0），所以向量 AB 也应该是（-6，0），所以如果点 A 是（m，n），那么点 B 就是（m - 6，n），这样 AB 的长度就是 6，对的，因为横坐标差是 - 6，长度是 6。 现在，旋转后点 O 到点 D，旋转中心是 A，所以 AD=AO=2，且 AD 经过 O，所以 A、O、D 共线，AD=AO=2，所以向量 AD 和向量 AO 方向相反，因为 O 在 A 和 D 之间，所以向量 AO = - 向量 AD。向量 AO 是 O - A =（-m，-n），向量 AD 是 D - A =（d_x - m，d_y - n），所以（d_x - m，d_y - n）=（m，n），因为向量 AD = - 向量 AO =（m，n），所以 d_x = m + m = 2m，d_y = n + n = 2n，所以点 D 的坐标是（2m，2n）。 接下来看点 F，点 F 是点 B 旋转后的对应点，所以 AF=AB=6，且点 F 在 x 轴正半轴上，坐标是（f，0），f>0。向量 AF = F - A =（f - m，-n），向量 AB = B - A =（-6，0），因为旋转前后向量长度不变，且夹角是旋转角，所以 AF 的长度是 6，即√[(f - m)² + (-n)²] = 6，所以（f - m）² + n² = 36。 另外，旋转角相等，即角 OAD 等于角 BAF，而角 OAD 是平角吗？因为 A、O、D 共线，所以角 OAD 是 180 度？不对，旋转角是 OA 绕点 A 逆时针旋转到 AD 的角度，因为 A、O、D 共线，且 AD 在 AO 的延长线上（从 A 出发经过 O 到 D），所以旋转角是 180 度吗？如果是这样的话，那么 AB 绕点 A 逆时针旋转 180 度得到 AF，所以 AF 和 AB 应该在同一直线上，方向相反。 向量 AB 是（-6，0），那么向量 AF 应该是（6，0），因为旋转 180 度后方向相反，长度不变。向量 AF 是（f - m，-n）=（6，0），所以 -n = 0，即 n=0，f - m =6，f = m +6。但如果 n=0，那么点 A 的坐标是（m，0），OA 的长度是 | m|=2，所以 m=2 或 m=-2。如果 m=2，那么点 A 是（2，0），但这样点 O 是（0，0），点 A 在 x 轴上，AB 向量是（-6，0），所以点 B 是（2 -6，0）=（-4，0），点 C 是（-6，0），这时候四边形 ABCO 四个点都在 x 轴上，变成一条直线了，不可能是平行四边形，所以 n 不能为 0，刚才的旋转角不是 180 度，那我们换个思路。 因为 OA 和 AD 的夹角是旋转角，AB 和 AF 的夹角也是旋转角，所以这两个角相等。我们可以用斜率来表示角度，或者用三角函数。设旋转角为 θ，那么点 D 的坐标可以用旋转公式来求，点 D 是点 O 绕点 A 逆时针旋转 θ 得到的，所以根据旋转坐标公式：若点 P（x，y）绕点 Q（a，b）逆时针旋转 θ 后的坐标是（(x - a) cosθ - (y - b) sinθ + a，(x - a) sinθ + (y - b) cosθ + b）。 点 O（0，0）绕点 A（m，n）逆时针旋转 θ 得到点 D，所以 D 的坐标是（(0 - m) cosθ - (0 - n) sinθ + m，(0 - m) sinθ + (0 - n) cosθ + n）=（m (1 - cosθ) + n sinθ，n (1 - cosθ) - m sinθ）。 又因为 AD 经过点 O，所以点 O 在直线 AD 上，直线 AD 的斜率是（d_y - n）/（d_x - m）=（n (1 - cosθ) - m sinθ - n）/（m (1 - cosθ) + n sinθ - m）=（-n cosθ - m sinθ）/（-m cosθ + n sinθ）。而直线 AO 的斜率是（n - 0）/（m - 0）= n/m，因为 O 在 AD 上，所以这两个斜率相等： （-n cosθ - m sinθ）/（-m cosθ + n sinθ）= n/m 交叉相乘得：m (-n cosθ - m sinθ) = n (-m cosθ + n sinθ) 左边：-mn cosθ - m² sinθ 右边：-mn cosθ + n² sinθ 两边相减得：-m² sinθ - n² sinθ =0 → -sinθ(m² + n²)=0 因为 m² + n²=OA²=4≠0，所以 sinθ=0，θ=180 度，这和刚才一样，说明旋转角确实是 180 度，那为什么刚才会出现四个点在同一直线上呢？因为我们设向量 AB 的时候可能错了。 平行四边形 ABCO 中，应该是 OA 平行且等于 BC，AB 平行且等于 OC，所以向量 OA = 向量 BC，向量 AB = 向量 OC。向量 OC 是从 O 到 C，点 C 在 x 轴负半轴，设 C 为（c，0），c<0，所以向量 OC 是（c，0），所以向量 AB 也应该是（c，0），所以 AB 平行于 x 轴，长度是 | c|=6，因为 AB=6，所以 c=-6，所以点 C 是（-6，0），向量 AB=（-6，0），所以如果点 A 是（m，n），那么点 B 是（m -6，n），向量 OA 是（m，n），向量 BC 是（m -6 - c，n -0）=（m -6 - (-6)，n）=（m，n），对的，符合平行四边形性质。 现在旋转角 θ=180 度，所以点 F 是点 B 绕点 A 逆时针旋转 180 度得到的，根据旋转公式，旋转 180 度后的坐标是（2m - (m -6)，2n - n）=（m +6，n）。因为点 F 在 x 轴正半轴上，所以它的纵坐标 n=0，哦，原来如此，所以 n=0，那点 A 的纵坐标是 0，刚才以为四个点在同一直线上，但其实平行四边形可以有一边在 x 轴上，比如 OA 是垂直于 x 轴的？不对，如果 n=0，那点 A 在 x 轴上，OA 在 x 轴上，那 AB 也在 x 轴上，所以四个点确实在同一直线上，这不可能是平行四边形，说明哪里错了。 哦，原来平行四边形 ABCO 的顶点顺序是 A、B、C、O，所以应该是 AB、BC、CO、OA 依次相连，所以向量 AB 应该等于向量 OC，向量 BC 等于向量 AO。向量 AO 是（-m，-n），所以向量 BC 也应该是（-m，-n）。点 B 的坐标是（p，q），点 C 是（c，0），所以向量 BC 是（c - p，-q）=（-m，-n），所以 c - p = -m → p = c + m；-q = -n → q = n。向量 AB 是（p - m，q - n）=（c + m - m，n - n）=（c，0）= 向量 OC，对的，OC 向量是（c，0），长度是 | c|=6，c<0，所以 c=-6，所以点 C 是（-6，0），点 B 是（-6 + m，n）。 现在 OA 长度是 2，即√（m² + n²）=2。点 D 是点 O 绕 A 旋转后的点，AD=OA=2，AD 经过 O，所以 A、O、D 共线，AD=OA=2，所以 OD=OA + AD=4，如果 A 在 O 和 D 之间的话，那么向量 AO = 向量 AD，所以点 D 的坐标是 A + 向量 AD = A + 向量 AO =（m，n）+（m，n）=（2m，2n），因为向量 AO 是（m，n）。 点 F 是点 B 绕 A 旋转后的点，AF=AB=6，AB 的长度是√[（p - m）² +（q - n）²]=√[（-6 + m - m）² +（n - n）²]=√[(-6)²]=6，对的。旋转角 θ，所以角 OAD = 角 BAF=θ，且 AD 和 AF 分别是 OA 和 AB 旋转后的边。 因为点 F 在 x 轴正半轴上，坐标（f，0），f>0，所以向量 AF =（f - m，-n），长度是 6，所以（f - m）² + n²=36。 向量 OA =（m，n），向量 AD =（2m - m，2n - n）=（m，n），所以 OA 和 AD 同向，旋转角 θ 其实是 0 度？不对，应该是反向，所以向量 AD = - 向量 OA，所以点 D = A + 向量 AD =（m，n）+（-m，-n）=（0，0），但这是点 O，不对。 可能我们应该用坐标系更简单，设点 A 在 y 轴上，因为 OA=2，设 A（0，2），这样 OA 在 y 轴上，长度 2。因为 ABCO 是平行四边形，AB 平行于 OC，OC 在 x 轴上，所以 AB 平行于 x 轴，点 B 的坐标是（6，2），因为 AB=6 且平行 x 轴。OC=AB=6，点 C 在 x 轴负半轴，所以 C（-6，0）。 现在绕点 A（0，2）逆时针旋转四边形 ABCO 得到 ADEF，AD 经过 O（0，0），AD=OA=2，OA 的长度是 2，从 A（0，2）到 O（0，0）是向下 2 units，所以 AD 经过 O，AD 长度 2，所以点 D 应该在 AO 的延长线上，从 A 向下经过 O 再向下 2 units，所以 D 的坐标是（0，-2），因为 A（0，2）到 O（0，0）是 2 units，O 到 D（0，-2）也是 2 units，所以 AD 长度是 4？不对，AD 应该是从 A 到 D 的长度，A（0，2）到 D（0，-2）是 4，不是 2，所以错了。那 AD 长度是 2，所以从 A（0，2）出发，经过 O（0，0），向下方走 2 units 的话，AD 长度是 2，所以 D 点应该在 A 和 O 之间？A（0，2）到 D 点距离 2，D 在 AO 上，AO 长度 2，所以 D 点就是 O 点？不对，旋转后 O 点到 D 点，所以 D 不能是 O。 换个方式，用三角函数，设∠AOF 为 α，在旋转中，OA=AD=2，AB=AF=6，∠OAF=∠BAD = 旋转角，点 F 在 x 轴上，所以 AF 在坐标系中，AF=6，OA=2，我们可以用勾股定理，在三角形 AOF 中，AO=2，AF=6，OF 可以算出来吗？或者用坐标系设 A（0，b），因为 OA=2，所以 b=2，A（0，2），O（0，0），点 F 在 x 轴正半轴，设 F（c，0），AF=6，所以√（c² + 2²）=6 → c²=32 → c=4√2，所以 F（4√2，0）。 旋转角 θ 是∠OAF，cosθ=AO/AF 的邻边比？cosθ=（OA² + AF² - OF²）/(2・OA・AF)，不过可能更简单的是求点 D 的坐标，点 D 是 O 绕 A 旋转 θ 得到的，旋转公式：D_x = (0 - 0) cosθ - (0 - 2) sinθ + 0 = 2 sinθ，D_y = (0 - 0) sinθ + (0 - 2) cosθ + 2 = 2 - 2 cosθ。 又因为 AD 经过 O，所以 O 在直线 AD 上，直线 AD 的斜率是（D_y - 2）/（D_x - 0）=（2 - 2 --- #### 开头（0-1分钟） **开场白**： "同学们好！今天解决一道经典题：在椭圆内部数整数点。别怕抽象，我会用'网格捕鱼法'带你轻松理解——把椭圆当渔网，点当小鱼，我们只数网里的鱼！" **展示问题**： 板书： \( A = \{-2,-1,0,1,2\} \) \( B = \{-1,0,1\} \) \( C = \left\{ (x,y) \mid \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} \leq 1, x\in A, y\in B \right\} \) **学习目标**： ① 掌握椭圆方程几何意义 ② 学会离散点筛选法 ③ 理解集合交运算 --- #### 第一部分：核心概念解析（1-6分钟） 1. **知识点1：集合与笛卡尔积** - **定义**： - 板书圈出A,B："集合是确定对象的整体，如A有5个整数" - 动画演示：A×B生成15个点网格（图1） - **关键**："C是A×B的子集，需满足椭圆条件" 2. **知识点2：椭圆定义与参数（新增重点）** - **生活化定义**： "椭圆=到两点距离之和恒定的点轨迹（动画：两个钉子+绳子画椭圆）" - **标准方程**： \[ \frac{x^2}{\color{red}{a^2}} + \frac{y^2}{\color{blue}{b^2}} = 1 \] **参数揭秘**： - \(\color{red}{a}\)：半长轴（x方向半径）→ 本题\(a^2=4\) ∴ \(a=2\) - \(\color{blue}{b}\)：半短轴（y方向半径）→ 本题\(b^2=3\) ∴ \(b≈1.732\) *动画对比*：圆（a=b）→ 椭圆（a≠b）的变形过程 3. **知识点3：椭圆绘图四步法** **步骤** | **操作** | **本题示例** ---|---|--- ①求x截点 | 令y=0 | \(x=±2\) → 点(-2,0),(2,0) ②求y截点 | 令x=0 | \(y=±\sqrt{3}≈±1.732\) ③连关键点 | 手绘演示 | 连接(±2,0)和(0,±1.732) ④填内部域 | 红色阴影 | \(\leq1\)包含边界（实线） **动态演示**： - 坐标系中逐步画出椭圆，标出\(a=2,b=1.732\)的几何意义 - 特别强调：B集合的y=±1在椭圆内部（∵1<1.732） 4. **知识点4：椭圆不等式** - **几何意义**：\(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} \leq 1\) = 椭圆内部+边界 - **计算原理**： "比较计算值vs 1，如(1,1)：\(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=0.583<1\)→在内部" --- #### 第二部分：逐步计算（6-10分钟） **解题策略**：固定x值，遍历y值（分组计算） | x值 | 计算式 | y=-1 | y=0 | y=1 | 满足点 | |-------|----------------|------------|-----------|-----------|------------------------| | **0** | \(\frac{0}{4} + \frac{y^2}{3}\) | 0.333 ≤1 ✅ | 0≤1 ✅ | 0.333≤1 ✅ | (0,-1),(0,0),(0,1) | | **±1**| \(0.25 + \frac{y^2}{3}\) | 0.583≤1 ✅ | 0.25≤1 ✅ | 0.583≤1 ✅ | (±1,-1),(±1,0),(±1,1) | | **±2**| \(1 + \frac{y^2}{3}\) | 1.333>1 ❌ | 1≤1 ✅ | 1.333>1 ❌ | (-2,0),(2,0) | **动画辅助**： - 椭圆图上动态标记点：绿色✅（满足），红色❌（不满足） - 对称性提示："x=±1结果相同，省时技巧！" **结果汇总**： - 总满足点：3（x=0） + 6（x=±1） + 2（x=±2） = **11** - 排除点：(±2,±1) 共4个 --- #### 第三部分：总结升华（10-12分钟） **答案确认**： - 集合C有11个元素 → **选A** - 错选项分析： - B.9：漏算(±2,0) - C.6：忽略y=±1时的点 - D.4：仅计算边界点 **知识点地图**： ```mermaid graph LR A[集合C] --> B[笛卡尔积 A×B] A --> C[椭圆不等式] C --> D[参数a,b几何意义] C --> E[边界点计算] E --> F[离散点验证] ``` **拓展挑战**： "若B={-2,-1,0,1,2}，满足条件的点有几个？提示：y=±2时\(\frac{y^2}{3}=\frac{4}{3}>1\)！" **结尾动画**： 椭圆闪烁11个绿点，同步显示公式： \[ \text{总点数} = \underbrace{3}_{x=0} + \underbrace{6}_{x=±1} + \underbrace{2}_{x=±2} = 11 \] **结束语**： "记住：椭圆问题三部曲——定参数→画图形→算数值！下期讲双曲线计数，订阅追更哦～" --- ### 制作说明 1. **视觉设计**： - 椭圆绘制：GeoGebra动态生成（a=2红色箭头，b=1.732蓝色箭头） - 点验证表：分三屏对照（公式计算/几何位置/结果标记） 2. **关键帧提示**： - 3:00 绳子画椭圆动画（趣味记忆） - 5:30 手绘演示四点连椭圆（板书特写） - 8:00 网格点筛除(±2,±1)时的红叉特效 3. **学生关怀**： - 复杂计算处暂停2秒："跟着我一起算！" - 提示笔记框："重点记录：a控制宽度，b控制高度" > 本教程通过"几何直观→代数验证→生活比喻"三重解析，确保基础薄弱学生能透彻理解椭圆集合问题的本质和解题流程。