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勾股定理是几何学中最重要的定理之一。它描述了直角三角形中三边之间的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。这个定理在古代中国被称为'勾三股四弦五'，在古希腊被称为毕达哥拉斯定理。今天我们将学习如何证明这个著名的数学定理。
在证明勾股定理之前，我们需要掌握一些基本的几何概念。首先是正方形的面积等于边长的平方，三角形的面积等于底乘以高的一半。我们还需要理解面积的可加性，即大图形的面积等于各部分面积之和。我们的证明思路是：用边长为a、b、c的线段构造正方形，通过面积关系来建立等式，从而证明勾股定理。
现在我们用经典的面积法来证明勾股定理。首先构造一个边长为a加b的大正方形。这个大正方形可以用两种方法计算面积：方法一是边长的平方，即a加b的平方；方法二是将大正方形分解为四个全等的直角三角形和一个边长为c的小正方形，面积为四倍的二分之一ab加c的平方。由于是同一个图形，两种算法的结果相等。展开a加b的平方得到a平方加2ab加b平方，这等于2ab加c平方。消去两边的2ab，就得到了勾股定理：a平方加b平方等于c平方。
现在我们用相似三角形的方法来证明勾股定理。首先，从直角三角形ABC的直角顶点A向斜边BC作高线AD。这条高线将原三角形分成两个小三角形ACD和CBD。通过角度分析可以发现，这三个三角形都是相似的。根据相似三角形的性质，对应边成比例。从三角形ABC与ACD相似，得到c比a等于a比AD，因此a的平方等于c乘以AD。同样，从三角形ABC与CBD相似，得到b的平方等于c乘以BD。将这两个等式相加，得到a平方加b平方等于c乘以AD加BD的和，而AD加BD正好等于c，所以最终得到勾股定理。
现在让我们通过具体的数值例子来验证勾股定理。最著名的勾股数是3、4、5。我们计算：3的平方加4的平方等于9加16等于25，正好等于5的平方，验证成功。另一个经典例子是5、12、13：5的平方加12的平方等于25加144等于169，正好等于13的平方。还有8、15、17：8的平方加15的平方等于64加225等于289，正好等于17的平方。这些都是勾股数，即满足勾股定理的正整数组合。通过这些具体例子，我们可以直观地看到勾股定理的正确性。