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二项分布是概率论中最重要的离散概率分布之一。它描述了在固定次数的独立试验中，成功次数的概率分布。二项分布需要满足四个关键条件：第一，试验次数n是固定的；第二，每次试验只有两种可能结果，通常称为成功和失败；第三，各次试验相互独立，互不影响；第四，每次试验成功的概率p保持不变。抛硬币实验是二项分布的经典例子，每次抛硬币都是独立的，出现正面或反面的概率都是0.5。
二项分布的概率质量函数描述了在n次独立试验中恰好成功k次的概率。公式为P(X等于k)等于C(n,k)乘以p的k次方再乘以(1减p)的(n减k)次方。其中C(n,k)是组合数，表示从n个对象中选择k个的方法数，计算公式为n的阶乘除以k的阶乘乘以(n减k)的阶乘。让我们通过图表来观察不同参数下分布的形状变化。当n等于10，p等于0.3时，分布呈现右偏形状。现在我们改变参数，将p调整为0.5，可以看到分布变得更加对称。
现在我们通过一个具体例子来演示二项分布的计算过程。假设一名篮球运动员的投篮命中率为0.7，他投篮10次，我们要计算恰好命中8次的概率。首先确定参数：试验次数n等于10，成功概率p等于0.7，我们要求的成功次数k等于8。第二步计算组合数C(10,8)，等于10的阶乘除以8的阶乘乘以2的阶乘，结果是45。第三步代入二项分布公式：P(X等于8)等于45乘以0.7的8次方乘以0.3的2次方，计算得到45乘以0.0576乘以0.09，最终结果约为0.2335，即23.35%的概率。从右侧的柱状图可以看出，在所有可能的结果中，命中8次的概率用红色突出显示。
二项分布有两个重要的统计特征：期望和方差。期望值E(X)等于np，表示在n次试验中平均的成功次数。方差Var(X)等于np乘以(1减p)，衡量结果围绕期望值的离散程度。标准差是方差的平方根。让我们看一个具体例子：当n等于20，p等于0.3时，期望值E(X)等于20乘以0.3等于6，方差等于20乘以0.3乘以0.7等于4.2。从右侧的分布图可以看出，红色虚线标出了期望值的位置，绿色线条显示了标准差的范围。期望值决定了分布的中心位置，而方差影响分布的宽度，方差越大，分布越分散。
二项分布在现实生活中有广泛的应用场景。在质量检验中，我们用它分析次品率；在医学试验中，研究治愈率；在市场调研中，统计满意度；在政治领域，进行投票预测和民意调查。让我们看一个质检问题的具体例子：从100件产品中抽取20件进行检验，已知次品率为5%，求恰好发现1件次品的概率。首先确定参数：n等于20，p等于0.05，k等于1。代入公式计算：P(X等于1)等于C(20,1)乘以0.05的1次方乘以0.95的19次方，等于20乘以0.05乘以0.3774，结果约为0.3774，即37.74%。从图表可以看出，发现1件次品的概率用红色突出显示，绿色虚线表示期望值1。这说明在这种检验中，最可能发现1件次品。