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我们来看这道题：计算3乘以括号4加1乘以括号4的平方加1乘以括号4的4次方加1乘以括号4的8次方加1，最后加1的值。首先观察这个表达式的结构特点。我们发现各个因子都是4的n次方加1的形式，其中指数分别是1、2、4、8，形成一个等比数列，每一项都是前一项的2倍。面对这样复杂的乘积，我们需要寻找巧妙的计算方法。
我们来看这道题：3乘以括号4加1乘以括号4的平方加1乘以括号4的4次方加1乘以括号4的8次方加1，最后加1。观察这个表达式的特征：我们看到连续的二次幂4的1次方、4的平方、4的4次方、4的8次方；每项都是4的幂次加1的形式；前面的系数是3；最后还要加上1。这种特殊的结构提示我们应该使用平方差公式来解决这个问题。
解决这个问题的核心技巧是利用平方差公式。平方差公式告诉我们，a减b乘以a加b等于a的平方减b的平方。关键的洞察是：我们可以将3写成4减1的形式。这样，原式就变成了括号4减1乘以括号4加1乘以后面各项，再加1。为什么要这样变形呢？首先，这创造了应用平方差公式的条件；其次，我们可以利用连续相消的望远镜效应；最后，将复杂的乘积转化为简单的形式。通过这种巧妙的变形，我们就能够逐步应用平方差公式了。
现在我们来逐步计算。首先，4减1乘以4加1，根据平方差公式等于4的平方减1的平方，即16减1等于15。接下来，4的平方减1乘以4的平方加1，等于4的平方的平方减1的平方，即4的4次方减1。继续，4的4次方减1乘以4的4次方加1，等于4的8次方减1。最后，4的8次方减1乘以4的8次方加1，等于4的16次方减1。所以原式等于4的16次方减1再加1，结果就是4的16次方。计算4的16次方：4的16次方等于4的4次方的4次方，即256的4次方。256的平方是65536，256的4次方就是65536的平方，等于4294967296。
通过巧妙的变形和平方差公式的应用，我们得到了最终答案：4的16次方等于4294967296。让我们总结一下解题方法：首先，识别题目中特殊结构的乘积形式；然后，巧妙变形创造平方差公式的应用条件；接着，利用望远镜效应让中间项逐步相消；最后，化简得到最终答案。这道题的关键在于将系数3改写为4减1，这是解题的核心突破点。这种技巧在处理类似的代数问题时非常有用。
现在我们详细展示连续应用平方差公式的过程。根据平方差公式，a减b乘以a加b等于a的平方减b的平方。第一步：4减1乘以4加1，等于4的平方减1的平方，即16减1等于15。但我们不需要具体计算15，而是保持4的平方减1的形式。第二步：4的平方减1乘以4的平方加1，根据平方差公式等于4的平方的平方减1的平方，即4的4次方减1。第三步：4的4次方减1乘以4的4次方加1，等于4的4次方的平方减1的平方，即4的8次方减1。第四步：4的8次方减1乘以4的8次方加1，等于4的8次方的平方减1的平方，即4的16次方减1。这就是著名的望远镜效应，中间项逐步相消，最终得到4的16次方减1。加上最后的1，结果就是4的16次方。
现在我们完成最终的计算步骤。通过前面的推导，我们得到括号4减1乘以括号4加1乘以后面各项等于4的16次方减1。因此原式等于4的16次方减1再加1，结果就是4的16次方。接下来计算4的16次方的值。4的16次方等于2的2次方的16次方，即2的32次方。我们也可以写成4的4次方的4次方，即256的4次方。先计算256的平方等于65536，然后256的4次方等于256的平方的平方，即65536的平方，等于4294967296。所以最终答案是4294967296，这是一个10位数，大约43亿。我们可以验证这个结果：从4的1次方是4，4的平方是16，4的4次方是256，4的8次方是65536，到4的16次方是4294967296，每一步都符合我们的计算。